Zwischenwertsatz (?)

21.01.2019, 16:20	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz (?) Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht vorwärts: Sei $\begin{eqnarray} f:I\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig auf einem Intervall $\begin{eqnarray} I\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1},...,x_{n} \in I \end{eqnarray}$ beliebig. Zeige, dass ein $\begin{eqnarray} x\in I \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} f(x_{k}) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen bisher: Mit der Annahme, dass I = [a,b], würde es doch eigentlich reichen, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(a)\leq f(x)\leq f(b) \end{eqnarray}$ . Mit dem Zwischenwertsatz würde dann ja folgen, dass mindestens ein $\begin{eqnarray} x\in [a,b] \end{eqnarray}$ existiert, für welches die oben genannte Gleichung erfüllt ist? Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
21.01.2019, 16:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, auch wenn richtige Ideen dabei sind: Suche Minimum bzw. Maximum der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Funktionswerte $\begin{eqnarray} f(x_1),\ldots,f(x_n) \end{eqnarray}$ , die zugehörigen Stellen seien $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ genannt, d.h. es ist dann $\begin{eqnarray} f(c) = \min_{k=1,\ldots,n} f(x_k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(d) = \max_{k=1,\ldots,n} f(x_k) \end{eqnarray}$ , wobei die Einschachtelung $\begin{eqnarray} f(c)\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k) \leq f(d) \end{eqnarray}$ folgt. Und nun den Zwischenwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray} [c,d] \end{eqnarray}$ anwenden (bzw. $\begin{eqnarray} [d,c] \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} d<c \end{eqnarray}$ sein sollte).
21.01.2019, 16:37	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Aah, das klingt logisch. Vielen Dank!

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