Frage zu Permutationen und Urnenmodell

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heinzch Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Permutationen und Urnenmodell
Meine Frage:
Gegeben seien n Kugeln, davon i Schwarze und n-i Weisse in einer Urne. Nehmen wir als Beispiel n=10, 7 weisse Kugeln und i=3 schwarze Kugeln. Bekanntlich ist die Wahrscheinlichkeit p, aus dieser Urne in 7 Zügen hintereinander alle 7 Weissen zu ziehen das Produkt von 7/10, 6/9 und 5/8, 4/7, 3/6, 2/5, 1/4 und ergibt 1/120. Im Folgenden möchte ich die weissen Kugeln mit 0 und die schwarzen mit 1 darstellen. Dann gibt es 120 Permutationen aus 0000000111. In diesen 120 Permutationen kommen 7 Weisse hintereinander aber 4 mal vor ((i+1)-mal). Die Wahrscheinlichkeit, wenn man alle 10 Kugeln zieht, einmal hintereinander 7 Weisse zu erzielen ist also 4/120.
Nun möchte ich die Wahrscheinlichkeit p(n,i,k) nicht nur für n-i Weisse hintereinander, sondern für k=1 bis n-i ausrechnen. Dazu benötige ich die Anzahl Permutationen h, in welchen hintereinander k (oder mehr) Nullen vorkommen.

Meine Ideen:
Das habe ich nur teilweise geschafft, nämlich für k>(n-i)/2 (abgerundet) gilt

h=((n-k)!(i+1))/(i!(n-i-k)!) (sorry, latex gibt bei mir immer ?)


Zusätzlich fand ich heraus, dass für k<=(n-i)/(i+1) (aufgerundet) immer alle Permutationen gefunden werden und damit die Wahrscheinichkeit p=1 ist.

Ein einfaches Pythonprogramm liefert folgenden Output mit falschem Wert für den Zwischenbereich k=3:

10 Kugeln, davon 3 Schwarze und 7 Weisse
120 Permutationen, probab 0.008333..
k h p
7 4 0.0333..
6 16 0.1333..
5 40 0.3333..
4 80 0.6666..
3 140 1.16666.. statt 120 0.9666..
2 120 1.0
1 120 1.0

Der Zwischenbereich (n-i)/(i+1) < k <= (n-i)/2 kann recht gross werden für grössere n und den kann ich nicht berechnen. Ich wäre froh um jeden Hinweis, wie man diesen Zwischenbereich berechnen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Permutationen und Urnenmodell
Zitat:
Original von heinzch
Das habe ich nur teilweise geschafft, nämlich für k>(n-i)/2 (abgerundet) gilt

h=((n-k)!(i+1))/(i!(n-i-k)!)

Hab ich soweit auch nachvollziehen können. Für ist der Wert zumindest noch als obere Schranke tauglich (das Problem ist, dass mehrere k-Blöcke an Nullen zugleich in der Ziehung vorhanden sein können, und die werden hierbei leider auch mehrfach gezählt).


Wenn sich aber sogar ergibt, wie in deinem Tabellenbeispiel bei mit , dann ist diese Schranke natürlich maximal uninformativ. Augenzwinkern

Zitat:
Original von heinzch
Der Zwischenbereich (n-i)/(i+1) < k <= (n-i)/2 kann recht gross werden für grössere n und den kann ich nicht berechnen. Ich wäre froh um jeden Hinweis, wie man diesen Zwischenbereich berechnen kann.


Schwieriges Problem. Womöglich lässt sich zumindest eine rekursive Anzahlformel aufstellen.
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