Beziehung zwischen diffbaren Funktionen

21.01.2019, 21:57	pferdeschwanz121	Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung zwischen diffbaren Funktionen Meine Frage: Aufgabe: Die Funktionen f und g seien auf dem Intervall (-1,1) differenzierbar. Es gelte f(x)g(x) = x für alle x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ (-1,1) und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass g(0) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0 gelten muss. Meine Frage wäre nun, inwieweit mein Ansatz richtig ist. Meine Ideen:* Da f,g in (-1,1) differenzierbar sind, ist auch das Produkt in (-1,1) differenzierbar. Es gilt: (f(x)g(x))' = (x)' $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \end{eqnarray}$ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1 $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ (-1,1). Angenommen g(0) = 0, dann gilt x = 0: f'(0)g(0) + f(0)g'(0) = f'(0)0 + 0g'(0) = 0 + 0 = 0 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 1. Das wäre ein Widerspruch dazu, dass die jeweilige Gleichung für alle x aus (-1,1) gelten muss. Also muss g(0) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gelten.
21.01.2019, 22:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analysis 1 Klausuraufgabe Kannst du so machen. Es geht aber auch direkt, ohne Widerspruchsbeweis, was ich eleganter finde. Einfach die Gleichung f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1 für x=0 betrachten.
22.01.2019, 12:49	pferdeschwanz121	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Vielen Dank :-)

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