Implizite Darstellung einer Funktion auflösen

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Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Darstellung einer Funktion auflösen
Meine Frage:
Die Funktion
ist gegeben.
Ich soll nun zeigen, dass die Gleichung f(x,y) = 0 in einer Umgebung von (0,0) nach y = h(x) aufgelöst werden kann.

Meine Ideen:
Ich habe erst geprüft, ob die Funktion stetig diff'bar ist (ist sie)
Danach habe ich die partiellen Ableitungen berechnet.



Dann habe ich überprüft:

das passt, da die Ableitung ungleich 0 und die Funktion an der Stelle 0 sein sollte.



Damit ist die Funktion nach y = h(x) auflösbar.
Jetzt komme ich nicht weiter. Ich dachte, es geht damit weiter:

Damit komme ich allerdings auf h(x) = -e^y


Das kann ja nicht sein, da ich eigentlich nach y auflösen möchte.
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Liebe Grüße,
Laura
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Verwechslung h mit h'
Nicht , sondern .
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Danke für die Antwort.
Dann wäre

aber ich dachte, ich brauche eine Funktion, die völlig ohne y auskommt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Ich weiß nicht, was du da rumrechnest. Ich komme da auf

,

denn es geht ja hier um die Stelle . Du solltest jetzt nicht erwarten, daraus eine explizite Darstellung für basteln zu können - ist ja auch gar nicht gefordert: Für die eindeutige Auflösung in einer (kleinen) Umgebung ist bereits hinreichend, dass in einer Umgebung von (0,0) gilt.
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Du hast Recht! Da hab ich mich verrechnet.

Wenn ich jetzt h(x) berechnen möchte, reicht es, die Stammfunktion zu bilden?

Habe ich mit diesem Ergebnis dann die explizite Darstellung? Mir ist das immernoch nicht richtig klar. Ich kann y ja immernoch nicht ausrechnen, da das rekursiv aufzulösen ist, oder?
Gibt es auch "große" Umgebungen? Bedeutet das, dass wir uns nicht nur einen Punkt, sondern die gesamte Funktion ansehen?

Vielen Dank für die Hilfe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Zitat:
Original von Vladima123
Wenn ich jetzt h(x) berechnen möchte, reicht es, die Stammfunktion zu bilden?

Etwa basierend auf ? Na viel Spaß, das ist eine waschechte, nicht gerade triviale DGL.

Ich fürchte, du hast immer noch nicht kapiert, dass das hier mit einer expliziten Funktionsangabe für nichts wird.
 
 
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Vielleicht muss ich das einfach akzeptieren.
Das Problem ist, dass ich in der folgenden Aufgabe bestimmen soll - und da versteh ich leider gerade gar nicht, wie das klappen soll. Im Script steht nur diese Methode und im Internet finde ich auch nichts passendes... Hast Du dafür eine noch eine Idee? Bin ich die Aufgabe falsch angegangen?
Das Beispiel in der VL wurde allerdings so gelöst, daher bin ich so irritiert. Da gab es eine explizite Darstellung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Zitat:
Original von Vladima123
Das Problem ist, dass ich in der folgenden Aufgabe bestimmen soll

Das wiederum geht ja auch! sollte sofort klar sein, dein Entwicklungspunkt ist ja .

Eigentlich differenziert man nur immer wieder die Gleichung unter Berücksichtigung der mehrdimensionalen Kettenregel. Kannst natürlich auch gleich "einsetzen", dann benötigst du nur die normale Kettenregel:

ergibt differenziert .

in (1) eingesetzt ist man bei , also .

Nun kann man erneut (1) differenzieren und gelangt zu



Auch hier wieder eingesetzt bekommt man nach einiger Rechnerei usw.
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verwechslung h mit h'
Jetzt hab ichs verstanden. Vielen Dank für Deine Mühe!!
Liebe Grüße,
Laura
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