Grenzwertbestimmung mit Mittelwertsatz

22.01.2019, 17:56	Gast_Name	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung mit Mittelwertsatz Hallo zusammen, Ich soll den Grenzwert dieses Ausdrucks bestimmten: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \frac{x^{\alpha } -a^{\beta } }{x^{\alpha }- a^{\beta } } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha, \beta > 0. \end{eqnarray}$ Ich denke hierfür muss man den allgemeinen Mittelwertsatz verwenden $\begin{eqnarray} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. \end{eqnarray}$ Ich hätte das jetzt es so gewählt: $\begin{eqnarray} f(x) = x^{\alpha } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)= \alphax^{\alpha-1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = x^{\beta } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x) = \betax^{\beta-1 } \end{eqnarray}$ Dann wäre $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ doch aus aus dem Intervall von ]a,x[ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to a}\frac{\alpha\xi^{\alpha-1 }}{\beta\xi^{\beta-1 }} \end{eqnarray}$ . Aber wie genau mache ich hier jetzt weiter?
22.01.2019, 22:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Bruch hat für alle x ungleich a den Wert 1, also ist das auch der Grenzwert.
23.01.2019, 08:28	Gast_Name	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir das etwas genauer erklären? Wieso ist der Bruch 1 wenn x ungleich a ist und warum gilt das dann auch Gleichzeitig für den Grenzwert?
23.01.2019, 10:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch den Zähler mit dem Nenner kürzen, da beide den gleichen Wert haben. Verstehe das Problem nicht.
23.01.2019, 11:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt folglich für den Grenzwert, weil der Grenzwert $\begin{eqnarray} lim _{x\to a} \end{eqnarray}$ immer für x ungleich a berechnet wird. Selbst wenn ein Funktionswert an der Stelle a existiert, muss der Funktionswert an der Stelle a nicht mit dem Grenzwert an der Stelle a übereinstimmen. Wenn der Funktionswert an der Stelle a existiert und mit dem Grenzwert an der Stelle a übereinstimmt, heißt die Funktion an der Stelle a stetig. Stetigkeit ist ein Begriff, der über die Existenz des Grenzwerts hinausgeht.
23.01.2019, 16:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
auwei Wenn ich mal von Gast_Names Rechnung auf die Aufgabenstellung rückschließe, dann war wohl EIGENTLICH $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a} \frac{x^{\alpha}-a^{\alpha}}{x^{\beta}-a^{\beta}} \end{eqnarray}$ gemeint. Das wäre dann allerdings schon mehr als ein kleiner Verschreiber, eher schon ein massiver Blackout.
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23.01.2019, 16:42	Gast_Name	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: auwei Oh man ich bin so ein Horst . Hab die Aufgabe falsch abgetippt mit den ganzen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . Die eigentliche Funktion lautet natürlich wie HAL 9000 sie beschrieben hat und dann macht der Grenzwert von 1 auch Sinn, wenn ich auf das schaue, was ich zuerst getippt habe. Also zurück an den Anfang. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \frac{x^{\alpha }-a^{\alpha } }{x^{\beta } -a^{\beta } } \end{eqnarray}$ Und dann mit dem Mittelwertsatz und $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \frac{\alpha \xi^{\alpha -1} }{\beta \xi^{\beta -1} } \end{eqnarray}$ Das könnte man doch folgendermaßen zusammenfassen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to a} \frac{\alpha }{\beta } \xi^{(\alpha -1)-(\beta -1)} = \lim_{x \to a} \frac{\alpha }{\beta } \xi^{(\alpha -\beta )} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ geht auch gegen a also ist der Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{\alpha }{\beta } a^{(\alpha -\beta )} \end{eqnarray*}$ oder?

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