Würfel Glücksspiel Simulation, empirische Varianz

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Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »
Würfel Glücksspiel Simulation, empirische Varianz
In einem Spiel wird ein fairer Würfel geworfen, wobei der Gewinn von der Augenzahl abhängt.

a.) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Gewinn.

b.) Simulieren Sie 100 solcher Spiele und berechnen Sie den mittleren Gewinn sowie die empirische Varianz des Gewinnes. Vergleichen Sie mit dem Erwartungswert und der Varianz.

c.) Wiederholen Sie das Simulationsszenario nun mit 400 Spielen. Was kann man im Vergleich zu 100 Spielen in b) sagen?

d.) Wiederholen Sie diesen Vorgang mit einem gezinkten Würfel (dieser würfelt eine Sechs doppelt so hoher Wahrscheinlichkeit wie alle anderen Zahlen). Vergleichen Sie auch hier ein Szenario mit 100 bzw. 400 simulierten Spielen mit dem tatsächlichen Erwartungswert und der Varianz des Gewinns.
Meine Idee:

Bei einem fairen Würfel, hat jede Auganzahl die gleiche auftritts Wahrscheinlichkeit.

Der Erwartungswert des Gewinns sollte dann einfach das arithmetische Mittel der Gewinne sein.

a.)



____________________________________________________

b.) Es wird nun 100 mal geworfen.
Weil die Wahrscheinlichkeit für jeden wurf gleich bleibt, sollte sich doch auch der Erwartungswert nicht ändern ?


Die Empirische Variannz, ist doch die Streuung um den arithmetischen Mittelwert. Und das arithmetische mittel ist hier der Erwartungswert.

Ich schreib die Formel hin, denk das is dann leichter in einer Excel Tabelle zu machen.
, n=100

sind nun 100 Zufallszahlen zwischen 1 und 6 oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfel Glücksspiel Simulation, empirische Varianz
a) ist richtig.

Bei b) ist aber mit dem mittleren Gewinn der Mittelwert des Gewinns aus den 100 Simulationen gemeint und nicht der Erwartungswert der Zufallsgröße Gewinn. Dieser Mittelwert ist auch in die Formel für die empirische Varianz einzusetzen. Außerdem hat die die empirische Varianz den Vorfaktor . Der Vorfaktor ergibt dagegen einen erwartungstreuen Punktschätzer für die tatsächliche Varianz der Zufallsgröße.

Allerdings ist die Definition der empirischen Varianz nicht einheitlich. Manchmal wird auch der genannte Punktschätzer als empirische Varianz bezeichnet.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

b.)




c.) gleich wie b.) nur anderes n

d.)
Die ersten 5 Augenzahlen, 1 2 3 4 5 haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, nur 6 hat nun die doppelte Wahrschkt..

Daraus folgt die Gleichung:








Nun ist ja das Problem, das die Würfel nichtmehr zufällig fallen.

Also:





Weiß vielleicht jmd. wie man das in R simulieren könnte ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kathreena
Weiß vielleicht jmd. wie man das in R simulieren könnte ?

floor(runif(100,1,7)) erzeugt einen Vektor von 100 Wurfergebnissen.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm....

Ich bekomm bei der Simulation b.)

für n=100 auf



c.) für n=400 auf



sollte aber die Varianz nicht deutlich kleiner werden, mit steigendem n ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Varianz ist einer Zufallsgröße ist eine Konstante.
Die emoirische Varianz unterliegt zufälligen Schwankungen. Warum sollte die kleiner werden?

Das aritmetische Mittel wird ja auch nicht kleiner.

Fasst man Folge von Mittelwerten zusammen, dann ist deren Varianz natürlich geringer.
 
 
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Was kann man dann aus der Simulation rauslesen ? Das sich der Mittelwert dem Erwartungswert nähert ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was kann man dann aus der Simulation rauslesen ? Das sich der Mittelwert dem Erwartungswert nähert ?

Dazu muss man statt der Varianz der Stichprobe die Varianz des Mittelwerts der Stichprobe betrachten, wodurch man einen weiteren Faktor bekommt. Die Varianz der Stichprobe wird sich mit wachsendem der Varianz der Zufallsgröße nähern, kann also nicht mit wachsendem kleiner werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Angesichts von und sind die obigen Simulationsergebnisse doch ganz plausibel. Und für die 400er- Stichprobe ist auch völlig im "normalen" Rahmen - im wahrsten Sinne des Wortes, denn dieser Wert ist ja annähernd standardnormalverteilt.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
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