Summationen der harmonischen Zahlen

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Summationen der harmonischen Zahlen
Hallo Boardmitglieder,
ich versuche derzeit, einige Vereinfachungen von Summen der harmonischen Zahlen zu rechnen, aber ich komme bei Weitem nicht auf so schöne Ergebnisse wie bei Wolfram-Alpha. Ich vermute da stark, dass es einen Trick gibt.
Also lasst euch nicht davon abschrecken, dass es so viele Aufgaben sind, sie funktionieren einfach alle nach einem Schema, das ich noch nicht durschaut habe und der Vollständigkeit halber habe ich alle angeführt.
Bis jetzt wende ich einfach Summenvertauschungen an und erhalte damit Folgendes (was aber eben nicht das ist, was laut Wolfram-Alpha am Schönsten herauskommt!!!):

1)
2)
3)
4) (da stehe ich auf der Leitung)
5) (gleiches Problem wie 4))
6) (da kenne ich mich auch nicht aus)
7)
8) (funktioniert wohl wie 7)
9) (wohl Problem wie bei 4,5)
10) (wohl gleiches Problem wie bei 4,5,9)
11) (siehe 4,5,9,11)


Eure Hilfe wäre wirklich toll!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

5) Binomischer Satz + Symmetrie der Binomialkoeffizienten ergibt

,

umgestellt .

4) geht so ähnlich, unter vorheriger Nutzung von für alle .

6) Partialbruchzerlegung!

10) Wurde mal in irgendeinem Thread hier im Board besprochen ... mal sehen, ob ich es finde.


Alle anderen nicht genannten Aufgaben beinhalten ein oder mehrere der Lösungsideen von 4),5).


EDIT: Irgendwie hast du rumeditiert - da stand erst eine ganz andere Aufgabe 10 da, irgendwas mit einer alternierenden Summe. unglücklich

EDIT2: 2) ist sicher falsch - vermutlich ist irgendeins der eigentlich ein o.ä. unglücklich
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Hal!
Deine Erklärung zu 5) konnte ich nachvollziehen, ebenso wie man für 4 auf die benötigte Gleichheit kommt, die du angegeben hast.
Allerdings komme ich bei 4) dann nicht weiter:
und da ist schon das erste Problem, denn für k=1 ist (k-2)! ja gar nicht definiert? Aber ich sage dann einfach, da ist der ganz Binomialkoeffizient 0 und fahre fort: = .
Die Obergrenze der Summe habe ich so gesetzt, damit wir wie in 4 vorgehen können. Allerdings finde ich kein passendes x, für das die Gleichheit tatsächlich gilt.

Funktionieren 3), 8), 9), 10) und 11) dann auch so (mit dem Binomischen Lehrsatz), wenn man erst einmal die Summanden dafür günstig dargestellt hat? (Falls ja, dann habe ich bislang noch nicht die richtige Form für den Summanden gefunden...)

2): Offenbar habe ich mich unklar ausgedrückt. Das was in 1), 2) und 7) rechts vom Gleichheitszeichen steht, ist nicht das, was herauskommen soll, sondern das, was ich herausbekommen habe. Herauskommen soll das, was auch Wolfram-Alpha ausgibt (beinhaltet die Harmonischen Zahlen).

Okay, ich werde mir anschauen, wie Partialbruchzerlegung funktioniert und dann das 6er damit versuchen.

Bzgl. Edit: Ja, du hast Recht, ich habe ganz kurz nach dem Posten 10) und 11) editiert. Weil es derart kurz danach war, habe ich es nicht entsprechend angemerkt. Tut mir leid, dass dir das Umstände bereitet hat, besonders, da du mich schon einmal darauf hingewiesen hast, dass Edits entsprechend gekennzeichnet gehören.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Das was in 1), 2) und 7) rechts vom Gleichheitszeichen steht, ist nicht das, was herauskommen soll, sondern das, was ich herausbekommen habe.

Das habe ich tatsächlich falsch gedeutet: Z.B. ist das Ergebnis 1) durchaus richtig, aber ich hätte nicht im Traum daran gedacht hätte, das rechts als "Vereinfachung" zu betrachten. Augenzwinkern

Ich gehe mal davon aus, dass das Ziel der Vereinfachung ein "summensymbolfreier" Term ist, der aber durchaus ein oder mehrere enthalten darf. Bei 1) kriege ich sowas allerdings auch nicht hin, sondern nur

.


Zitat:
Original von Studentu
und da ist schon das erste Problem, denn für k=1 ist (k-2)! ja gar nicht definiert?

Vielleicht einfach mal die Antworten vollständig lesen, dann erübrigen sich solche Einwürfe:

Zitat:
Original von Studentu
unter vorheriger Nutzung von für alle .

Damit kannst du diese Umformung auch nur für anwenden. Für rechnet man einzeln aus , darf diesen Summanden also tatsächlich weglassen (aber mit dieser, nicht mit deiner Begründung). Es geht dann so weiter, mit Indexverschiebung :




Zu 6) Es ist und somit



Bei dir geht die Summe bis zu , was ich für einen Schreibfehler halte: Denn dann wäre der letzte Summand für undefiniert (Division durch Null). unglücklich


Bei 2) würde ich so vorgehen, mit Vertauschung der Summationsreihenfolge :

Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal,
danke für deine Antwort!

6) ist damit natürlich klar, das war echt überraschend einfach (: (wobei man natürlich auf den Trick erst kommen muss).

4) ist nun auch klar, nur wüsste ich gerne, was du dir überlegt hast, dass der Summan für n-2 dabeisein muss, damit es funktioniert (ich nehme an, da gibt es eine allgemeine Überlegung, wie das aussehen muss, damit man eine halbierte doppelt so lange Summe daraus machen kann?)

2) hatte ich auch so probiert, nur auf die Anwendung der Gaußschen Summenformal an geeigneter Stelle war ich nicht gekommen... bei Wolfram-Alpha ist das Ergebnis aber noch ein Stück schöner. Um das dortige Ergebnis zu erhalten, müsste man noch zeigen, dass ist. Siehst du, warum das gilt? (Ich habe nämlich herumgeformt und es nicht erhalten.)

1) Dein Ergebnis ist wunderschön, zumal ja der zweite Ausdruck gleich ist. Verrätst du mir bitte (oder gibst du mir eine Hilfestellung), wie du dabei vorgegangen bist. Ich habe es nämlich noch mehrmals mit Summenvertauschungen und "Tricks" versucht, aber bin nicht darauf gekommen.
Und ich nehme an, die Tricks die du bei 1) verwendet hast, führen auch bei 7) zu einem schönen Ergebnis?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2) Naja, es ist ja . Wenn du das in mein Ergebnis oben einsetzt, dann ergibt sich

.

Sieht tatsächlich "schöner" aus, auch wenn das Primärziel "Summensymbolfreiheit" auch schon mit meinem Term erreicht war. Augenzwinkern


Zu 1) Wieder Tausch der Summationsreihenfolge:

.

Und nun nach umstellen:

 
 
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Erklärungen, Hal 9000! Was du schreibst, verstehe ich alles glasklar.
Die restlichen Vereinfachungen habe ich leider trotzdem nicht geschafft, aber du brauchst sie trotzdem nicht alle anzuführen, zumal ich dann wahrscheinlich neue, mir bis dahin unbekannt Vereinfachungen immer noch nicht hinbekommen würde. Mir fehlt wohl einfach noch gehörig die Erfahrung...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Die restlichen Vereinfachungen habe ich leider trotzdem nicht geschafft, aber du brauchst sie trotzdem nicht alle anzuführen

Hatte ich auch nicht vor. Vielleicht schaust du nochmal drüber und setzt dann nochmal den Fokus auf wenige Teilaufgaben, die wir noch besprechen sollen.
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