Komplexe Funktion in der reellen Ebene

24.01.2019, 10:17

boerns

Komplexe Funktion in der reellen Ebene

Hallo zusammen,
Ich bearbeite gerade ein paar Aufgaben zum Kurs Funktionentheorie.
Was mir gerade ein Problem bereitet, ist nicht die Aufgabe selbst, sondern was genau mit einer Aussage gemeint ist. Auch aus der Lösung, die mir vorliegt, werde ich nicht schlau.
Zunächst einmal geht es um folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f:\begin{cases}\mathbb C \rightarrow \mathbb C \\z \rightarrow \begin{cases} \frac {exp(-1)} {z^{4}} , \hspace{10mm} falls \, z\neq 0 \\\hspace{10mm}0, \hspace{10mm} falls \, z = 0 \end{cases}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Man soll nun zeigen, dass f als reelle Funktion auf $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar ist.

Mir geht es konkret um die Aussage "als reelle Funktion". Heißt das, dass ich aus dem Definitionsbereich von f nur die reellen Zahlen hernehme (also die bei denen Im(z)=0)?
Da stellt sich mir die Frage: Warum steht dann "auf $\begin{eqnarray*} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar" und nicht nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Noch dazu kommt dass in der Lösung Folgendes steht:

" Sowohl die auf die x-Achse eingeschränkte Funktion, als auch die auf die y-Achse eingeschränkte Funktion f stimmen mit $\begin{eqnarray*} x \rightarrow e({x}^2) \end{eqnarray*}$ überein.

Wahrscheinlich stehe ich nur gewaltig auf dem Schlauch, aber danke schon mal für eure Hilfe!

24.01.2019, 10:24

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sind doch als reelle Vektorräume isomorph, indem man x+iy als (x,y) auffasst. Das sollte dir eigentlich bekannt sein, wie sonst hätte man die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen herleiten sollen verwirrt

Oder noch besser: Wie sonst habt ihr C denn bitte definiert, wenn nicht als R^2 mit neuer Multiplikation?

Also kannst du eine Funktion, die von C nach C geht auffassen als eine Funktion, die von R^2 nach R^2 geht, indem man auf beiden Seiten diese Isomorphie ausnutzt.

Bist du dir sicher, dass du dich nicht verschrieben hast, diese Funktion oben ist nicht auf ganz R^2 partiell differenzierbar.

24.01.2019, 10:32

boerns

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Isomorphie ist mir bekannt, zumindest theoretisch Augenzwinkern

Wenn ich also z=(x+iy) als z=(x,y) auffasse, gilt dann z^4=(x^4,y^4) ?
und was ist mit der auf die x- und aus die y-Achse eingeschränkten Funktion gemeint?

24.01.2019, 11:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
Bist du dir sicher, dass du dich nicht verschrieben hast, diese Funktion oben ist nicht auf ganz R^2 partiell differenzierbar.

Allerdings, die oben angegebene Funktion ist ja im wesentlichen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^4} \end{eqnarray*}$ nur mit einem konstanten Faktor versehen. Insbesondere dass da im Zähler einfach nur $\begin{eqnarray*} \exp(-1) \end{eqnarray*}$ stehen soll, ist daher höchst zweifelhaft.

Zitat:

Original von boerns
Wenn ich also z=(x+iy) als z=(x,y) auffasse, gilt dann z^4=(x^4,y^4) ?

Natürlich nicht! Das Binom ist ganz normal zu potenzieren, also

$\begin{eqnarray*} (x+iy)^4 = \left(x^4-6x^2y^2+y^4\right) + i\left(4x^3y-4xy^3\right) \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Funktion in der reellen Ebene

Verwandte Themen