Grenzwert einer e-Funktion, Regel von l'Hospital

24.01.2019, 16:44	Käsekuchenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer e-Funktion, Regel von l'Hospital Moin liebe Leute! Ich habe folgendes Problem: Gegeben ist folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = 0.02x^2e^{-0.1x} \end{eqnarray}$ Mich interessiert der Grenzwert ( $\begin{eqnarray} x -> \infty \end{eqnarray}$ ) der Stammfunktion. Für die Stammfunktion erhalte ich: $\begin{eqnarray} F(x) = -0.02(x^2+20x+200)e^{-0.1x} \end{eqnarray}$ Nun möchte ich den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} F(x) \end{eqnarray}$ berechnen. Mein Ansatz war folgender: 1.) -0.02 kann man ja vor den Limes ziehen. 2.) Im Zähler steht dann $\begin{eqnarray} x^2+20x+200 \end{eqnarray}$ , dessen Grenzwert für x gegen unendlich undendlich ist. 3.) Im Nenner steht dann $\begin{eqnarray} e^{0.1x} \end{eqnarray}$ , was für x gegen unendlich ebenfalls unendlich wird. Folglich erhalte ich einen Bruch: $\begin{eqnarray} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ Darauf habe ich nun die Regel von l`Hospital angewendet. Nach zweimaligem Ableiten der Zähler-, bzw. Nennerfunktion bin ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{2}{100e^{0.1x} } \end{eqnarray*}$ gekommen, dessen Grenzwert dann wohl gegen Null läuft. Soweit so gut. Das Problem ist: Ich weiß, dass das Ergebnis nicht richtig sein kann, da es sich um die Stammfunktion einer Wachstumskurve handelt, die gegen einen bestimmten Wert laufen müsste. Hat jemand eine Erklärung, oder einen Lösungsansatz für mich? Besten Dank im Voraus!
24.01.2019, 17:39	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer e-Funktion, Regel von l'Hospital Hallo, zunächst scheint mir bei Deiner Stammfunktion noch ein Faktor zu fehlen. Die Berechnung des Grenzwerts ist richtig. Stammfunktionen sind nicht eindeutig. Das Wachstums-Ergebnis wird durch das bestimmte Integral berechnet, etwa von 0 bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Das hat dann auch einen positiven Grenzwert. Gruß pwm

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