Exponentialverteilung Einschaltvorgang

24.01.2019, 18:14	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung Einschaltvorgang Hallo zusammen, ich habe noch eine weitere Aufgabe zur Stochastik. Betrachte ein aus mehreren Komponenten bestehendes Aggregat. Die Lebensdauern der einzenen Komponenten seien durch unabhängige und identlisch Exponentialverteilte Zufallsvariablen zu beschreiben wobei $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ gilt. Modelliere nachfolgend die Gesamtlebensdauer der jeweiligen Aggregate $\begin{eqnarray} A_1, A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ . Bestimme zudem die Erwartungswerte $\begin{eqnarray} E(A_1), E(A_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(A_3) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ : Es gibt zwei Komponenten, wobei die zweite erst dann eingeschaltet wird, wenn die erste ausfällt. $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ : Es gibt zwei Komponenten, die gleichzeitig eingeschaltet werden und dann parallel arbeiten. $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ : Zur Erhöhung der Sicherheit wird eine dritte Komponente aktiviert, sobald eine der ersten beiden ausfällt. Diese arbeitet dann parallel zur verbliebenen. Meine Idee: Eine konkrete Idee habe ich noch nicht da ich nicht so wirklich weiß wie man dies in Abhängigkeit bringt. Es gilt: $\begin{eqnarray} F(t)=1-e^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(t)=\lambda e^{-\lambda t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(t)=\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen? Viele Grüße
25.01.2019, 14:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ ist die Summe zweier unabhängig identischer Exponentialverteilungen. Siehe Erlang-Verteilung bzw. Gammaverteilung. $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ ist wohl so gemeint, dass beide Komponenten arbeiten müssen, damit das Gesamtsystem funktioniert. Die Gesamtlebensdauer ist damit das Minimum der beiden Komponentenlebensdauern. Das Minimum zweier unabhängiger Exponentialverteilung ist wiederum exponentialverteilt mit einem Parameter, der gleich der Summe der beiden Einzelparameter ist (nachrechnen!), hier ist das demnach die Verteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(2\lambda) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ ist kniffliger: Hier fällt das System ja erst beim zweiten Ausfall einer Komponente aus. Da muss ich erst nochmal drüber nachdenken. EDIT: Ok, ich hab es, ist einigermaßen tricky: Der Zeitpunkt des ersten Ausfalls einer Komponente ist verteilt $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(2\lambda) \end{eqnarray}$ , siehe $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ . Die noch nicht ausgefallene Komponente besitzt nun aber als (bedingte) Verteilung der Restlebensdauer ab diesem Zeitpunkt wiederum die Exponentialverteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ , das ist die sog. Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung! Die neu zugeschaltete Komponente besitzt ebenfalls Verteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ , womit wiederum eine $\begin{eqnarray} \operatorname{Exp}(2\lambda) \end{eqnarray}$ -verteilte Zeit bis zum endgültigen Ausfall des Systems vergeht. Diese Hintereinanderschaltung entspricht nun genau $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ , diesmal aber mit Parameter $\begin{eqnarray} 2\lambda \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Zusammenfassung: $\begin{eqnarray} A_1\sim\operatorname{Erl}(\lambda,2) = \gamma(2,\lambda) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2\sim\operatorname{Exp}(2\lambda) = \operatorname{Erl}(2\lambda,1) = \gamma(1,2\lambda) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3\sim\operatorname{Erl}(2\lambda,2) = \gamma(2,2\lambda) \end{eqnarray}$
25.01.2019, 15:39	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hal9000, vielen Dank für deine Ausführung. Ich werde mich dort heute Abend mal ran setzen. Falls noch etwas unklar ist, melde ich mich nochmal. Zu der anderen Stochastik Aufgabe (Urnenproblem) werde ich mich nächste Woche nochmal melden da diese in der Übung besprochen wird. Falls dann noch etwas unklar ist, werde ich mich dort auch nochmal melden. Vielen Dank soweit und ein schönes Wochenende

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