Extrema mit Nebenbedingung

24.01.2019, 18:33	freak_ona_leash	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingung Hallöchen. Ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe, komme aber nicht so recht weiter, weil unser Prof wirklich nichts zu einer Vorgehensweise gesagt hat. Ich soll das Maximum und Minimum der Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = x^2 +y^2 +(z-1)^2 \end{eqnarray}$ auf dem Ellipsoid $\begin{eqnarray} x^2 + (y/2)^2 +(z/3)^2 = 1 \end{eqnarray}$ ermitteln. Dass diese existieren ist mir klar, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig und das Ellipsoid kompakt ist. Aber das hilft mir bei der Berechnung gerade auch nicht weiter Ich wäre dankbar für jede Hilfe
24.01.2019, 19:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem wird sich vermutlich mittels des Lagrange-Multiplikators lösen lassen. Mache den Ansatz $\begin{eqnarray} L(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + (z-1)^2 - \lambda(x^2 + \frac{y^2} 4 + \frac{z^2} 9 - 1) \end{eqnarray}$ In der Klammer beim $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ steht die auf Null gebrachte Nebenbedingung, deshalb steht 1 noch dort. Das Vorzeichen vor dem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit + oder - sein, $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ passt sich dann entsprechend an. Bilde nun die drei partiellen Ableitungen nach x, y und z und setze diese Null. Zusammen mit der Nebenbedingung sind es nun 4 Gleichungen, welche nach x, y, z und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aufzulösen sind. Damit sind die Kandidaten für Extrempunkte berechnet. Der Nachweis für Max und Min führt über die Hesse-Matrix und kann rechenintensiv werden. Oftmals genügt auch die Untersuchung der Umgebung dieser Punkte oder auch eine geometrische Methode. mY+
24.01.2019, 20:55	freak_ona_leash	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr für die Antwort! Ich werde es auf jeden Fall mal ausprobieren. Allerdings hatten wir in der Vorlesung diese Lagrange-Multiplikatoren noch nicht. Kann man das Problem auch noch auf eine andere Weise lösen?
24.01.2019, 22:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wüsste jetzt nicht, wie, außer vielleicht graphischer Methoden oder mittels eines CAS (Rechenprogramm). Es sollte also doch in der Vorlesung darüber referiert worden sein. Das Gleichungssystem lässt sich relativ einfach lösen, Kandidaten sind (0; 0; +3), (0; 0; -3),(s; 0; 9/8) und (0; t; 9/5), wenn bei meiner schnellen Rechnung kein Fehler drin war ... $\begin{eqnarray} \color{blue}\text{EDIT: }\color{black} s = \pm \frac{\sqrt{55}} 8; \ t = \pm \frac 8 5 \end{eqnarray}$ mY+
24.01.2019, 22:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine komplett analysisfreie Lösung, die aber etwas geschickten Umgang mit den Quadraten erfordert (quadratische Ergänzung u.ä.): Für $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ , die die NB erfüllen, gilt ( $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eliminiert) $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = 1-\left(\frac{y}{2}\right)^2-\left(\frac{z}{3}\right)^2+y^2+(z-1)^2 = \frac{7}{8} + \frac{3}{4}y^2 + \frac{8}{9}\left(z-\frac{9}{8}\right)^2 \geq \frac{7}{8} \end{eqnarray}$ , das Minimum wird erreicht für $\begin{eqnarray} y=0,z=\frac{9}{8} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x=\pm\sqrt{1-0^2-\left(\frac{3}{8}\right)^2} = \pm\frac{\sqrt{55}}{8} \end{eqnarray}$ . Es gilt aber auch ( $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ eliminiert) unter zusätzlicher Beachtung von $\begin{eqnarray} -3\leq z\leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = x^2+4-4x^2-\left(\frac{2z}{3}\right)^2+(z-1)^2 = \frac{16}{5}-3x^2 + \frac{5}{9}\left(z-\frac{9}{5}\right)^2 \leq \frac{16}{5} + \frac{5}{9}\left(-\frac{24}{5}\right)^2 = 16 \end{eqnarray}$ , das Maximum rechts wird erreicht für $\begin{eqnarray} z=-3,x=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ .
24.01.2019, 22:56	freak_ona_leash	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank HAL9000! So schnell wie Du kann ich das leider noch nicht sehen , ich werde das ganze dann nochmal nachrechnen.
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24.01.2019, 22:58	freak_ona_leash	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos Genau das ist leider mein Problem. In der Vorlesung wurde noch nichts dazu gesagt. Wir haben bis jetzt immer nur Extremwerte ohne Nebenbedingungen gerechnet. Trotzdem vielen Dank!

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