Fourierkoeffizienten von rationaler periodischer Funktion |
25.01.2019, 01:39 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fourierkoeffizienten von rationaler periodischer Funktion ich beschäftige mich gerade damit, die Fourierkoeffizienten bzw. die Fourierreihenentwicklung der Funktion zu bestimmen. Da f(x) stetig und 2pi-periodisch ist, müsste die Fourierreihe existieren. Die Formel für die komplexen Fourierkoeffizienten bringen mich auf: . Zum Lösen dieses Integrals hatte ich zunächst gehofft, der Cauchy-Integralsatz könnte mir helfen, d.h. ich interpretiere das Integral als komplexes Kurvenintegral, dass ich auf dem Einheitskreis auswerte, was sich dann schreibt als mit . Wenn ich diese c_k dann hinschreibe, erhalte ich leider eine Lösung bei der die Fourierreihe nicht konvergiert, da die c_k einseitig gegen unendlich gehen. Ich habe bemerkt, dass eine Voraussetzung des Cauchy-Integralsatzes leider nicht gegeben ist, denn die abgeschlossene Einheitskreisscheibe ist nicht vollständig im Definitionsgebiet von K_k(z) für k >= 0 enthalten, da dann K_k(z) für z = 0 nicht definiert ist. Ist mein Ansatz sinnvoll und kann man ihn retten? Falls nein, wie kann ich die Koeffizienten ausrechnen? Danke für jede Hilfe |
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25.01.2019, 02:19 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine andere Idee: Dann erhält man durch Koeffizientenvergleich bzw. Orthogonalität (die Fourierreihe müsste gleichmäßig konvergieren, d.h. ich darf das) Gleichungen für den Zusammenhang der Koeffizienten: , und . Wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte konvergiert die dann erhaltene Fourierreihe. c0 kann man dann z.B. für x = 0 ausrechnen. Allerdings würde ich eigentlich komplexe Koeffizienten erwarten, mich dünkt hier stimmt auch was nicht. |
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25.01.2019, 02:36 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Entschuldigt den Trippelpost, es lässt mich nicht los: Mir ist gerade aufgefallen, dass durch simples rausziehen die naheliegende geo.-Reihe ja doch konvergier: 1/(e^(i x) - p) = e^(-i x) * (1 + e^(i x) p + e^(i x) p^2 + ...) Das müsste für |p| < 1 passen. |
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25.01.2019, 08:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtige Grundidee, aber nicht korrekt ausgeführt. Was du womöglich meinst ist . |
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