Der Kategoriensatz von Baire

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kategoriensatz von Baire
Hallo,

ich sitze an:
[attach]48808[/attach]

Ich wollte das gerne mit dem Kategoriensatz von Baire lösen.
Der sagt mir ja, dass dicht ist.
Ich weiß, dass . Dann weiß ich doch, dass und dicht ist.
dicht und damit auch nichtleeres Inneres hat.
Ist das richtig angewendet?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Der Kategoriensatz von Baire
Zitat:
Original von forbin
Der sagt mir ja, dass dicht ist.

Das sagt er sicher nicht.

Schreib erstmal deine Formulierung des Kategoriensatzes genau auf.

(Abgehesen davon: Warum sollte eine nichtleere abgeschlossene Menge nichtleeres Inneres haben? verwirrt )
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Version des Satzes ist diese (Werner - Funktionalanalysis).
[attach]48813[/attach]

Ah, ich sehe auch gleich den Fehler.
"Offene" Mengen, und nicht wie in meiner Aufgabe "abgeschlossene" Mengen. verwirrt
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte dazu jetzt über die Komplemente gehen.
Also: .
Aber wie bekomme ich die Eigenschaft der Dichtheit mit ins Spiel?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Ah, ich sehe auch gleich den Fehler.
"Offene" Mengen, und nicht wie in meiner Aufgabe "abgeschlossene" Mengen.

Noch viel schlimmer: In deiner Aufgabe ist nirgendwo von dichten Mengen die Rede. Ohne diese Voraussetzung ist der Kategoriensatz völlig falsch.

Der entscheidende Punkt in deinem Beweis ist die Implikation ; d.h. ist dann dicht.

Damit kannst du die Aussage mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es wurde uns sogar als Hinweis gegeben, den (Kategorien)Satz von Baire anzuwenden verwirrt
Jetzt bin ich noch mehr verunsichert, aber schaue mich deinen weiteren Hinweis natürlich an.
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
Aber es wurde uns sogar als Hinweis gegeben, den (Kategorien)Satz von Baire anzuwenden verwirrt

Sollst du ja auch machen; aber eben nicht auf die , sondern auf die . Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Zitat:
Original von forbin
Aber es wurde uns sogar als Hinweis gegeben, den (Kategorien)Satz von Baire anzuwenden verwirrt

Sollst du ja auch machen; aber eben nicht auf die , sondern auf die . Augenzwinkern


Ja das kam mir beim Aufschreiben auch in den Sinn. Hatte mich schon geärgert dass ich wieder mal zu hektisch war, aber da hattest du auch schon geantwortet Big Laugh
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich nehme an:


Ich tue mir einfach so schwer mit diesem Fach. Ich sehe nicht wohin ich laufe.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst den Satz auf die anwenden, nicht auf deren Abschluss.
Was sagt dir der Satz über ?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.
Also der Satz sagt mir dass der Schnitt der A_n^C dicht ist.
Und damit insbesondere Nichtleer.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
D.h. dir ist jetzt klar, warum das zu einem Widerspruch führt?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht.
dicht, damit insbesondere nichtleer

Aber nun muss ich doch wieder zurück, oder nicht?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin


Ist zwar richtig, aber das wusstest du auch vorher schon; diese Mengen sind ja alle dicht.

Wichtig ist .
Nun ist aber auch ...
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

... und damit

Ich merke gerade dass ich ein Gleichheitszeichen gesetzt habe statt ungleich. Das ist sehr schade denn mir erschien das sinnig.
Ab hier kann ich nur noch raten und das bringt es ja auch nicht.
Vielen Dank aber für deine Mühe!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, was du da machst. Die Aussage in der Mitte ist Voraussetzung in der Aufgabe; und die letzte Implikation ist genau das, was du zeigen musst.

Wir haben unter der Annahme, dass die alle leeres Inneres hätten, gezeigt, dass .
Außerdem ist laut Voraussetzung .
Und da ist der Widerspruch.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich stand also direkt davor und hab es wieder mal nicht gesehen :'(
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist jetzt also alles klar? smile
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Danke sehr!
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