Grad Körpererweiterung

26.01.2019, 09:49	lile115	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad Körpererweiterung Meine Frage: Hallo zusammen ich versuche gerade den Grad einer Körpererweiterung zu berechnen und komplett zu durchdringen: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt[5]{17}):\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ möchte ich berechnen. Meine Ideen: Ich kann natürlich einfach das Minimalpolynom vom Grad 5 angeben und per Eisenstein kurz zeigen, dass dieses irreduzibel ist. Allerdings möchte ich auch Verstehen, dass ich doch auch über eine Q-Basis gehen kann. Rein logisch hätte ich gesagt muss ich also noch einen Basisvektor in Q hinzufügen nämlich $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{17} \end{eqnarray}$ . Also hätte ich dann eine Erweiterung vom Grad 2 aber das ist natürlich nicht richtig. Wie erhalte ich auch eine Lösung, wenn ich den Grad über eine Q-Basis bestimmen möchte, das bereitet mir teils immer Probleme.
26.01.2019, 10:34	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, welche potenzen von $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{17} \end{eqnarray}$ sind denn in deinem Erweiterungskörper ?
26.01.2019, 10:39	lile115	Auf diesen Beitrag antworten »
Müssten ja 17^(1/5) , ... , 17^(4/5) sein oder?
26.01.2019, 11:25	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Verdacht was deine 5 Basisvektoren sind?
26.01.2019, 11:33	lile115	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das habe ich mir so auch schon gedacht.. Ich kann also immer {1, 17^^(1/5)} betrachten und die Produkte dann erhalte ich ein Element z.b 17^(2/5) welches nicht in der als Linearkombination von den zwei Vektoren darstellbar ist und das muss ich hinzufügen so lange bis alle schon darstellbar sind oder? Kann ich das immer so machen? Und wie würde ich dann zum Beispiel 17^(6/5) darstellen als Basis von {1, 17^(1/5), .. , 17^(1/4)} ? Das müsste ja dann auch gehen oder?
26.01.2019, 11:40	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das geht immer so. Das ist gerade genau dass was man mit dem Minimalpolynom macht. Hat das minimalpolynom von a Grad n, hast das insb. dass $\begin{eqnarray} 1, a,a^2, \ldots , a^{n-1} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind (ein Erzeugensystem sind sie auch).
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