Dualraumabbildung

26.01.2019, 13:38	Dadida	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraumabbildung Meine Frage: Seien V und W K_ Vektorräume sowie T: V -> W linear. Zeigen Sie , dass die assoziierte Dualraumabbildung T* : W* -> V* ; w* \|-> T(w)= woT wohldefiniert und linear ist. Meine Ideen:* Ich komme bei dieser Aufgabe leider kein bisschen voran seit gestern und habe gehofft das mir hier vielleicht jemand weiterhelfen könnte. Ich habe noch ein paar Tipps von meinem Tutor gekriegt Tipp: Wohldefiniert heißt : w* o T ist in V* Danke im voraus.
26.01.2019, 13:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefniert ist die Abbildung T, sobald man sie durch T(w)(x):=w(T(x)), für alle x in V definiert hat. Schon seit der Erfindung der Mengenlehre durch Cantor weiß man, dass eine Abbildung wohldefiniert ist, wenn man Definitionsbereich, Wertebereich und Graph der Abbildung kennt. Nun ist nur noch die Linearität von T* zu zeigen, also T(aw+bv)=aT(w)+bT(v) für alle a,b in K und für alle w,v* in V*. Das zeigt man für alle x in V und ist fertig.
26.01.2019, 14:31	Dadidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum Ich glaube die Linearität wurde hier bei dem Link gezeigt. www .mathematik.uni-dortmund .de /~scharlau/SoSe06/LinAII/la_kap4_1.pdf Direkt bei der ersten Definition. Die Aufgabe ist mir aber immer noch nicht wirklich verständlich, da uns 0 Sachen über Dualräume erklärt wurden in der Vorlesung. Ich würde gerne wissen was mein w* denn genau ist. Ist es eine Lineare Abbildung aus W*, weil ich gelesen hatte, dass Dualräume die Menge aller linearen Abbildungen sind z.B V nach K. Da sind zwei leerzeichen im Link eins nach dem www und eins vor dem .de
26.01.2019, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum, so heißt $\begin{eqnarray} V^:=\{w^:V\to K,x\mapsto w^(x)\|w^* linear\} \end{eqnarray}$ der Dualraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Dass das ein Vektorraum ist, ist hoffentlich klar, sonst muss man mit dem UVR-Kriterium beweisen, dass $\begin{eqnarray} V^\leq Abb(V,K) \end{eqnarray}$ ein UVR von $\begin{eqnarray} Abb(V,K)=K^V \end{eqnarray}$ ist. Nun hat man zwei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorräume $\begin{eqnarray} V, W \end{eqnarray}$ und ihre Dualräume $\begin{eqnarray} W^, V^* \end{eqnarray}$ sowie eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} T:V\to W, v\mapsto T(v) \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} T^(w^): V\to K, x\mapsto T^(w^)(x)=(T^(w^))(x):=w^(T(x))=(w^\circ T)(x) \end{eqnarray}$ . Das ist offensichtlich eine Abbildung von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , d.h. sie ist wohldefiniert. Wenn sie linear ist, so ist es also eine Abbildung aus $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ Nachtrag : Durch T wird dann offensichtlich eine Abbildung von W* nach V* (wohl)definiert, wenn T* linear ist, ist alles bewiesen.

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