Darstellungsmatrizen im Raum

26.01.2019, 14:12

Mathemelanie

Darstellungsmatrizen im Raum

Meine Frage:
Liebe Freunde der Mathematik,

in einer Übungsaufgabe wurde mir die Aufgabe gestellt eine Basis bezüglich einer Darstellungsmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
anzugeben, die die orthogonale Spieglung eines Dreieks an einer Ebene beschreiben soll.
Nach Abbildungsvorschrift soll A (2,1,0) auf A' (2,1,0), B (1,2,3) auf B' (3,-2,-1) und C (1,4,1) auf C' (3,0,-3) abgebildet werden.

Grüße
mathemelanie

Meine Ideen:
Wie man aus einer Abbilsungsvorschrift eine Darstellungsmatrix bestimmt weiß ich bereits. Allerdings bereitet mit dieser "rumgedrehte" Fall große Probleme

26.01.2019, 16:01

klauss

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RE: Darstellungsmatrizen im Raum
Eine Möglichkeit wäre, unter Ausnutzung der Linearität der Abbildung zunächst die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis zu bestimmen.
Mit den gegebenen Punkten kannst Du per Gleichungssystem die Koordinaten der Bilder der Standardbasisvektoren ausrechnen.
So gilt ja z. B.
$\begin{eqnarray*} f(\vec{e_{1} } )+2f(\vec{e_{2} } )+3f(\vec{e_{3} } )=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
usw.

Aus der resultierenden Matrix erhält man dann 2 linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 1 (Spannvektoren der Spiegelebene) und 1 Eigenvektor zum Eigenwert -1 (Richtung der Normalen zur Spiegelebene).
Es wird sich dann auch bestätigen, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{T} \end{eqnarray*}$ einer dieser Eigenvektoren ist, da er ja auf sich selbst abgebildet wird und damit offenbar in der Spiegelebene liegt.

Vielleicht gehts auch leichter und schneller, aber das ist jedenfalls eine Möglichkeit.

26.01.2019, 16:23

Mathemelanie

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RE: Darstellungsmatrizen im Raum
Leider wurden Eigenvektoren und Eigenwerte noch nicht in der Vorlesung eingeführt (kommt erst in der Linearen Algebra 2). Deshalb kann ich deinen Ansatz nicht ganz nachvollziehen, ich danke dir aber trotzdem und würde mich über weitere Ansätze freuen.

26.01.2019, 17:25

URL

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RE: Darstellungsmatrizen im Raum
Die Matrix beschreibt eine Abbildung, die die beiden ersten Vektoren fest lässt und den dritten mit -1 multipliziert. Bei einer orthogonalen Spiegelung bedeutet das, die beiden ersten Vektoren liegen in der Spiegelebene, der dritte ist senkrecht dazu. Also gilt es, die Spiegelebene mit Hilfe der beiden Dreiecke zu bestimmen.

26.01.2019, 17:52

klauss

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RE: Darstellungsmatrizen im Raum

Zitat:

Original von Mathemelanie
(kommt erst in der Linearen Algebra 2)

O Gott, so hochtrabend wollte ich gar nicht werden ... geschockt

Nun denn, mit dem Hinweis von URL kann man die Spiegelebene natürlich auch mittels Analytischer Geometrie bestimmen:
Vergleiche doch mal die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BB'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CC'} \end{eqnarray*}$
Was ist daraus zu schließen, wenn man schon weiß, dass es eine Spiegelebene ist?

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