Goldener Schnitt und ganze Zahlen

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stn21 Auf diesen Beitrag antworten »
Goldener Schnitt und ganze Zahlen
Meine Frage:
Hallo,

hier geht es um erste Schritte für den Beweis, dass ganzzahlig ist, falls n eine gerade Zahl ist.

Der goldene Schnitt hat den Wert . Außerdem ist phi irrational, das heißt, dass numerische Berechnung immer nur näherungsweise möglich ist.

Nur hat phi einige spezielle Eigenarten. Beispielsweise gilt . Das ist *exakt* eins, ohne irgendwas nach dem Komma. Die Tatsache, dass phi irrational ist spielt hier keine Rolle mehr.

Das ist leicht algebraisch zu zeigen. Die verschwindet beim umformen und es bleiben nur ganze Zahlen übrig.

Mit geht das nicht mehr so einfach. Die Ausdrücke werden immer länger, je größer n wird, und eine für alle geraden n gültige Form kann ich bisher nicht erkennen.

Daher die Frage: wieso ist ganzzahlig für gerade n? Wo verschwindet die irrationale ?

Der nächste Schritt wäre wohl der Beweis der Ganzzahligkeit für alle geraden n z.B. durch vollständige Induktion. Das wäre hier der Schluss von n auf (n+2). Das ist aber nicht diese Frage und sei nur erwähnt, um anzudeuten, in welche Richtung es weitergeht.

mfg
stn


Meine Ideen:
siehe Text, grundsätzlich ist die Beweisführung klar, der Fall n=1 wurde gelöst, Problem mit höheren Polynomen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist die positive Lösung der Gleichung . Anders gesagt: . Dividiert man diese Gleichung durch , so erhält man für in der Tat . Schließlich ist die positive Lösung der Gleichung , also . Das erhält man, wenn man die ursprüngliche Gleichung durch teilt.

So ist zum Beispiel



Und weiter:



Arbeite also mit diesen Beziehungen statt in Ausdrücken mit .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Tipp noch etwas ausgebaut (wollte Leopold womöglich noch nicht verraten): Es ist

.

Jetzt noch überprüfen, ob die Startwerte und ganzzahlig sind...
stn21 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist das mit Phi und Fibonacci ?

Jedes ist die Summe der beiden vorherigen, wie bei der Fibonacci-Reihe.
Nur dass die Reihe mit 2,1,... anfängt statt mit 1,1,..

Phi kann man in vielfältiger Weise umformen und kommt trotzdem immer wieder zu den ganz am Anfang sichtbaren Strukturen und zu der harmonischen Relation, die schon bei der ersten Teilung der Linie sichtbar wird. Als ob da irgendwo eine Art universeller Harmonie versteckt wäre.

Danke Leopold und Hal 9000 smile
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