Eigenwerte und Eigenräume nur durch geschicktes Sehen und Argumentieren bestimmen

28.01.2019, 16:07

Sabina16

Eigenwerte und Eigenräume nur durch geschicktes Sehen und Argumentieren bestimmen

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien der Vektorraum } \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { die lineare Abbildung } L : \mathbb{R}_{ \leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{ \leq 2}[x], \text { sowie }} \\ {\text { die folgenden Bilder von } L :} \\ {L\left(x^{2}-2 x\right)=8 x^{2}-2 x+10, \quad L\left(x^{2}+1\right)=-4 x^{2}-4, \quad L(x-2)=-2 x+2}\end{array} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbil-
dung, durch scharfes Hinsehen und geschicktem Argumentieren.

Meine Lösung wäre dass
$\begin{eqnarray*} L\left(x^{2}+1\right)=-4(x+1) \end{eqnarray*}$
den Eigenwert
$\begin{eqnarray*} k_{1}=-4 \end{eqnarray*}$
hat und da die anderen Bilder sich als Linearkombination der restlichen Bilder
darstellen lassen können, folgt
$\begin{eqnarray*} k_{2}=k_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das schon einmal so?

Nun muss ich die Eigenräume bestimmen.
Leider habe ich da keine Idee, könnt ihr mit bitte helfen?

28.01.2019, 17:10

Helferlein

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Der Eigenwert -4 stimmt (bis auf ein fehlendes Quadrat beim Bild), aber bei den anderen kann ich Dir nicht ganz folgen. Wie willst Du -2x+2mit nur einem quadratischen Polynom darstellen (Was ja der Fall sein müsste, wenn der Kern zweidimensional wäre)?

28.01.2019, 17:15

zweiundvierzig

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RE: Eigenwerte und Eigenräume nur durch geschicktes Sehen und Argumentieren bestimmen

Zitat:

Original von Sabina16
$\begin{eqnarray*} L\left(x^{2}+1\right)=-4 x^{2}-4 \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} L\left(x^{2}+1\right)=-4(x+1) \end{eqnarray*}$

Meinst du in der unteren Zeile $\begin{eqnarray*} L(x^2+1) = -4(x^2+1) \end{eqnarray*}$ ?

28.01.2019, 17:25

Sabina16

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Hallo, danke für die schnellen Antworten.
@zweiundvierzig
Ja dort fehlt ein ^2, irgendwie ist es in Latex abhanden gekommen, kann es jetzt leider nicht mehr verbessern.

@Helferlein
"Wie willst Du $\begin{eqnarray*} -2x+2 \end{eqnarray*}$ mit nur einem quadratischen Polynom darstellen (Was ja der Fall sein müsste, wenn der Kern zweidimensional wäre)?"

Also meine Idee war es, zu zeigen, dass man $\begin{eqnarray*} -2x+2 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen beiden Bilder darstellen kann und wenn dies so wäre, dann müsst der Eigenwert 0 sein, war mir da aber auch nicht sicher, deshalb stelle ich hier die Frage.

Also $\begin{eqnarray*} -2x+2 = -2*(-4x^2-2) + 1*(8x^2-2x+10) \end{eqnarray*}$

Denn wenn der Kern != der Nullvektor ist , also die Abbildung injektiv, so ist 0 ein Eigenwert der Abbildung. Denke ich jedenfalls, wenn ich den Skript richtig interpretiere.

28.01.2019, 17:45

HAL 9000

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RE: Eigenwerte und Eigenräume nur durch geschicktes Sehen und Argumentieren bestimmen
Einen zumindest einfachen Eigenwert 0 und zugehörigen Eigenvektor kann man erkennen an

$\begin{eqnarray*} 0 = (8x^2-2x+10) + 2(-4x^2-4) - (-2x+2) = L(x^2-2x+2(x^2+1)-(x-2)) = L(3x^2-3x+4) \end{eqnarray*}$ .

Für den dritten Eigenwert (das ist $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ ) muss man dann wohl sehr scharf hinsehen bzw. geschickt argumentieren. Augenzwinkern

EDIT: Oje, da hab ich aber sehr lange nicht aktualisiert...

28.01.2019, 17:57

Sabina16

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RE: Eigenwerte und Eigenräume nur durch geschicktes Sehen und Argumentieren bestimmen
Hallo HAL 9000, danke für deine Antwort.
$\begin{eqnarray*} <br /> 0 = (8x^2-2x+10) + 2(-4x^2-4) - (-2x+2) = L(x^2-2x+2(x^2+1)-(x-2)) = L(3x^2-3x+4)<br /> \end{eqnarray*}$
Was genau ist deine Intention hierbei? Mir fällt es schwer zu folgen.
Und wie kommst du auf die $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ ?