Konvergenz/Divergenz zu Sinus und Kosinus

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B3rlin3r23 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Divergenz zu Sinus und Kosinus
Meine Aufgabe:
a) Untersuchen Sie x(n+1)=sin(x(n)) und x(n+1)=cos(x(n)) auf Konvergenz.
b) Zeigen Sie, dass x(n+1)=sind(2x(n)) nicht konvergiert.

Vielleicht genügt es ja erstmal sich auf die erste Sinusfolge zu kümmern, da die anderen Teile sehr ähnlich sein werden.

Meine Überlegungen:
Einen wirklichen Ansatz zur Lösung der Aufgaben fehlt mir noch, aber ich habe mir einige Gedanken gemacht:

Es gilt:
Dann habe ich mir die beiden Extremfälle von sin(1) und sin(-1) angeschaut und mir die ersten Folgenglieder angeschaut:

sin(1)=0,841
sin(0,841)=0,746
sin(0,746)=0,678
...
Sin(-1)=-0,841
sin(-0,841)=-0,746
...

Daher wäre meine Überlegung gewesen, dass ich lediglich zeigen muss, dass unabhängig vom Startwert das Folgeglied stets kleiner ist, sprich:

Jedoch fehlt mir hierzu der Ansatz das zu lösen.

Danke schon einmal für eure Vorschläge smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von B3rlin3r23
Daher wäre meine Überlegung gewesen, dass ich lediglich zeigen muss, dass unabhängig vom Startwert das Folgeglied stets kleiner ist, sprich:

Für negative Zahlen stimmt das sicher nicht.

Aber mit Betragsstrichen kannst du die Sache retten: gilt hier tatsächlich immer.

----------------------------------------------

Etwas genauer: Nehmen wir mal an, wir starten bei . Dann gilt bereits nach einem Schritt und es folgt dann

a) Ist , so ist negativ und streng monoton wachsend.
b) Ist , so ist positiv und streng monoton fallend.

Beide monoton und beschränkt, d.h. konvergent. Wegen der Stetigkeit von kommt als Grenzwert dann nur ein Fixpunkt von in Frage, und da gibt es nur den Fixpunkt 0.

Soweit zu . Kommen wir nun zu , da gilt bei beliebigem Startwert zunächst und in einem zweiten Schritt . Auch hier gilt: Falls die Folge konvergiert, dann nur gegen einen Fixpunkt von . Da gibt es nur einen reellen Fixpunkt ,



und wir können via MWS abschätzen

mit zwischen und .

Für heißt das auf jeden Fall mit dann . Damit haben wir auf jeden Fall lineare Konvergenz

.

Zitat:
Original von B3rlin3r23
b) Zeigen Sie, dass x(n+1)=sind(2x(n)) nicht konvergiert.

Was genau soll das heißen, ist das "d" nur so reingerutscht und du meinst eigentlich ? verwirrt

In dem Fall wäre die Aussage falsch, denn auch diese Folge ist konvergent.
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