Riemannsche Zwischensumme

30.01.2019, 19:44	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsche Zwischensumme Meine Frage: Hallo, Ich brauche eure Hilfe, würde mich sehr freuen Die Funktion f: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sei Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L>0, das heisst $\begin{eqnarray} <br /> \| f(x)- f(y) \| \leq L\| x-y \| \end{eqnarray}$ für all e x,y $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \| \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx - f(e)(b-a) \| \leq L \left(b-a\right) ^{2} \end{eqnarray}$ für alle e $\begin{eqnarray} \in \left[a,b\right] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: = $\begin{eqnarray} \| \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx -\int_{a}^{b} \! f(e) \, dx \| = \| \int_{a}^{b} \! f(x) \, - f(e) dx \| \leq \| \int_{a}^{b} \! f(x) -f(e) \, dx\| \leq \int_{a}^{b} \! L\| x-e \| \, dx \end{eqnarray}$ Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiter helfen könnt. Ich weiss nicht wie ich ausrechnen soll und den Betrag aufteilen.
30.01.2019, 20:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme x und e liegen im Intervall [a,b]. Wie weit können die beiden also höchstens voneinander entfernt sein?
30.01.2019, 20:32	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme sie müssen (b-a) entfernt sein...
30.01.2019, 20:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme Nein. Aber sie können höchstens b-a entfernt sein.
30.01.2019, 20:48	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme ja, stimmt, "sie können höchstens". Aber was bringt mir das? , ich verstehe nicht so ganz
30.01.2019, 21:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme das bedeutet $\begin{eqnarray} \|x-e\|\leq b-a \end{eqnarray}$
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30.01.2019, 21:16	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme Mein Ergebnis wäre dann $\begin{eqnarray} \leq Lb-La \end{eqnarray}$ ? mmm (ich dachte $\begin{eqnarray} \int_{a}^{e} \! f(a) \, dx + \int_{e}^{b} \! f(b) \, dx \end{eqnarray}$ ) verstehe noch immer nicht ganz
30.01.2019, 21:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme Dein Integrand hängt doch nicht mehr von x ab, also vor das Integral damit und schon steht das gewünschte Ergebnis da
30.01.2019, 21:27	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme aber jetzt stimmt es oder
30.01.2019, 21:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme Keine Ahnung, was du da machst $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! L\| x-e \| \, dx \leq \int_{a}^{b} \! L(b-a) \, dx = L(b-a)\int_{a}^{b} \, dx = L(b-a)^2 \end{eqnarray}$
30.01.2019, 21:43	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemansche Zwischensumme jaaa, danke für deine Hilfe
31.01.2019, 09:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas feiner ausgewertet bekommt man übrigens $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b L\|x-e\| ~ \dd x = L\int\limits_{a-e}^{b-e} L\|u\| ~ \dd u = \frac{(a-e)^2+(b-e)^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{4} + \left(e-\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \frac{(b-a)^2}{2} \end{eqnarray}$ mit Gleichheit für $\begin{eqnarray} e=a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e=b \end{eqnarray}$ (d.h. an den Intervallenden). D.h., man hätte die Behauptung ohne weiteres zu $\begin{eqnarray} \left\| \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x - f(e)(b-a) \right\| \leq \frac{L}{2} \left(b-a\right)^2 \end{eqnarray}$ verschärfen können.

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