Grenzwert von (1+1/n)^n

30.01.2019, 21:26

xMintberryCrunch

Grenzwert von (1+1/n)^n

Meine Frage:
Wieso gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right)^n =e \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1/n sollte doch gegen 0 laufen, für n gegen unendlich.
0+1=1 und 1^n ist ja auch 1.

30.01.2019, 21:32

Guppi12

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Hallo,

und mit welcher Begründung wertest du den Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1+\frac 1n = 1 \end{eqnarray*}$ aus, ohne dabei das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Exponenten zu betrachten?

Vergleichbar: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n} = \lim\frac 1n\cdot n = 0\cdot n = 0 \end{eqnarray*}$ .

30.01.2019, 23:48

xMintberryCrunch

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Gutes Argument Hammer

Wie kann man denn zeigen, dass die Folge gegen e läuft?

31.01.2019, 00:08

Guppi12

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Das ist für gewöhnlich die Definition von e. Man zeigt, dass die Folge konvergiert und nennt den Grenzwert dann e. Wenn du eine andere Definition von e hast, können wir gerne besprechen, wie man zeigt, dass beide Definitionen aufs gleiche hinauslaufen.

31.01.2019, 08:35

klarsoweit

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RE: Grenzwert von (1+1/n)^n

Zitat:

Original von xMintberryCrunch
Meine Ideen:
1/n sollte doch gegen 0 laufen, für n gegen unendlich.
0+1=1 und 1^n ist ja auch 1.

Nebenbei kann man auch mit der Bernoullischen Ungleichung zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1 n \right)^n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist. Ein Grenzwert 1 ist damit völlig ausgeschlossen. Augenzwinkern

31.01.2019, 21:12

xMintberryCrunch

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Ich habe diese Definition von e:

$\begin{eqnarray*} e^{x} := \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} e^{1} := \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

Wie kann man denn zeigen, dass die beiden Folgen gleich/ äquivalent sind?

31.01.2019, 21:53

Guppi12

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} e-\left(1+\frac 1n\right)^n = \left[\exp\left(\frac 1n\right)\right]^n-\left(1+\frac 1n\right)^n = \left[\exp\left(\frac 1n\right)-\left(1+\frac 1n\right)\right]\sum_{k=0}^{n-1}\exp\left(\frac 1n\right)^k\left(1+\frac 1n\right)^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ ,

wobei die allgemeine Darstellung $\begin{eqnarray*} a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray*}$ , die für alle reellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ richtig ist, verwendet wurde.

Betrachten wir die beiden Faktoren mal einzeln. Der erste Faktor ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}\left(\frac 1n\right)^k = \frac 1n\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)!}\left(\frac 1n\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} 1+\frac 1n<\exp\left(\frac 1n\right) \end{eqnarray*}$ gilt, lässt sich der zweite Faktor abschätzen durch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}\exp\left(\frac 1n\right)^{n-1} = n\exp\left(\frac{n-1}{n}\right)\leq n\exp(1) \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt erhalten wir $\begin{eqnarray*} 0\leq e-\left(1+\frac 1n\right)^n \leq \left[\frac 1n\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)!}\left(\frac 1n\right)^k \right] n\exp(1) = \exp(1)\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)!}\left(\frac 1n\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert das gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , weil die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ stetig ist mit Nullstelle in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Lässt sich leicht verallgemeinern zu $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac xn\right)^n \to \exp(x) \end{eqnarray*}$ .

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