p-value

31.01.2019, 10:22

Dopap

p-value

bei Testen von Hypothesen wird im Englischen gerne der p-value mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ verglichen.
1.) das wird im Deutschen das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil genannt?

2.) Bei der Likelihood Methode werden z.B. einige beobachtete Werte in die Likelihood Funktion einer angenommenen Dichte eingesetzt und der p-value bestimmt.
Das hat aber mit dem Quantil absolut nichts gemein?

3.) Ist die angenommene Dichte nur vom Typ her festgelegt und enthält einen oder mehrere Parameter, so ist die Likelihood-Funktion eine Funktion der Parameter und des Datensatzes.
Bei konstantem Datensatz kann man durch ( partielle ) Ableitung(en) ein Maximum der L Funktion bestimmen ?

z.b. beim Datensatz $\begin{eqnarray*} \{t_1,t_2, \dots, t_n\} \end{eqnarray*}$ und der Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=A\exp(-Ax) \end{eqnarray*}$ führt das zu $\begin{eqnarray*} A_{opt}=\frac {n}{\sum t_i} \end{eqnarray*}$ ?

Habe ich da das Englische so richtig verstanden?

31.01.2019, 11:27

HAL 9000

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p-value und Quantile der Teststatistikverteilung hängen eng miteinander zusammen, sind aber nicht dasselbe. Da liegt noch eine kleine "Übersetzungsschicht" dazwischen:

Zitat:

Zitat aus https://de.wikipedia.org/wiki/P-Wert:

Der $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Wert des Versuchsausgangs ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Versuch bei gültiger Nullhypothese mindestens so "extrem" ausgeht wie der beobachtete Versuch.

Mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_T \end{eqnarray*}$ der Testgröße $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ heißt das bei Realisierung $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dieser Testgröße

a) Bei rechtsseitigem Ablehnungsbereich: $\begin{eqnarray*} p = 1-F_T(t) \end{eqnarray*}$ .

b) Bei linksseitigem Ablehnungsbereich: $\begin{eqnarray*} p = F_T(t) \end{eqnarray*}$ .

c) Bei beidseitigem (wahrscheinlichkeitsmäßig gleich gewichteten) Ablehnungsbereich: $\begin{eqnarray*} p = 2\cdot \min\left\{ F_T(t),1-F_T(t) \right\} \end{eqnarray*}$ .

Im Detail zu c): $\begin{eqnarray*} p\leq \alpha \end{eqnarray*}$ bedeutet dann nämlich entweder $\begin{eqnarray*} F_T(t)\leq \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ (linke Hälfte des Ablehnungsbereichs) oder aber $\begin{eqnarray*} F_T(t)\geq 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ (rechte Hälfte des Ablehnungsbereichs).

Zitat:

Original von Dopap
Bei konstantem Datensatz kann man durch ( partielle ) Ableitung(en) ein Maximum der L Funktion bestimmen ?

Sofern die Likelihoodfunktion stetig differenzierbar ist, ja. Es gibt aber eine Menge Beispiele, auch und gerade bei Verteilungen auf endlichen Intervallen, wo am Intervallende die Dichte abrupt auf Null fällt (z.B. stetige Gleichverteilung), wo diese Voraussetzung NICHT erfüllt ist. Da muss man sich nach anderen Wegen der Maximumsuche umtun.

31.01.2019, 13:25

Dopap

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das habe verstanden smile