Einbettungen der Folgenräume

31.01.2019, 10:48	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Einbettungen der Folgenräume Hallo, beim Studium der Banachräume $\begin{eqnarray} \ell^p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ bin ich auf einen Widerspruch gestoßen, der mich glauben lässt, etwas fundamental missverstanden zu haben. Ich finde aber meinen Fehler nicht. Meine Gedanken: Die $\begin{eqnarray} \ell^p \end{eqnarray}$ -Normen sind monoton, also $\begin{eqnarray} \\| \cdot\\|_{\ell^p} \le \\|\cdot\\|_{\ell^q} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} 1\le q\le p \le \infty \end{eqnarray}$ . Folglich ist durch die Identitätsabbildung $\begin{eqnarray} \iota\colon \ell^q \to \ell^p \end{eqnarray}$ eine lineare, stetige und injektive Abbildung, also eine Einbettung gegeben. Für $\begin{eqnarray} p\in[1,\infty) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ eingebettet (zB Proposition 6.4.2 in Albiac, Kalton "Topics in Banach Spaces"). Kompositionen von Einbettungen sind Einbettungen, also folgt aus 2 und 3, dass $\begin{eqnarray} \ell^q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ eingebettet ist für $\begin{eqnarray} q\in[1,2], p\in[1,\infty) \end{eqnarray}$ . Mithilfe der Rademacher-Type/Cotype-Ungleichungen folgt aus 3: Falls $\begin{eqnarray} \ell^q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ eingebettet ist, gilt $\begin{eqnarray} p\le q\le 2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2\le q \le p \end{eqnarray}$ (zB Proposition 6.4.3 in Albiac, Kalton). 4 und 5 sind widersprüchlich. Kann mir jemand sagen, was hier nicht stimmt? Liebe Grüße daLoisl
31.01.2019, 13:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn die Verbindung zwischen dem Folgenraum $\begin{eqnarray} \ell^p \end{eqnarray}$ und dem Funktionenraum $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ in Punkt 3. So etwas habe ich noch nicht gesehen.
31.01.2019, 13:49	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst zwischen $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ ? Das folgt direkt aus der Chintschin-Ungleichung. Einheitsvektoren werden auf Rademacherfunktionen abgebildet und diese erzeugen einen Unterraum in $\begin{eqnarray} L^p[0,1] \end{eqnarray}$ . Edit: Ich glaube mittlerweile, dass das Problem auf die nicht einheitliche Verwendung des Begriffes "Einbettung/embedding" zurückführt. Im Buch von von Albiac und Kalton wird er leider nicht definiert, aber ich kann mir vorstellen, dass damit nicht die Existenz einer linearen, stetigen, injektiven Abbildung gemeint ist. Vielleicht wird zusätzlich verlangt, dass das Bild abgeschlossen ist. Kann das sein?
31.01.2019, 14:15	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, leider ist der Beweis von Theorem 6.4.3 nicht so einfach zu verstehen, man muss mehrfach im Buch weiter nach vorne blättern, um andere Sätze und Definitionen nachzuschlagen. Ich gebe dir jedenfalls Recht, mit der Definition von Einbettung als "stetig und injektiv" stimmt da etwas nicht. Es ist nicht gut, dass im Buch keine Definition angegeben ist. Aus dem Beweis von 6.4.2 geht hervor, dass dort das Bild der Einbettung tatsächlich abgeschlossen ist, besondere Erwähnung findet das aber nicht, es ist also nicht klar, ob das der entscheidende Unterschied ist. Edit: Ja, man braucht die Abgeschlossenheit des Bildes für 6.4.3, dort braucht man für die Einbettung $\begin{eqnarray} \iota: \ell^q\to L^p \end{eqnarray}$ eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray} c\\|x\\|\leq \\|\iota(x)\\|\leq C\\|x\\| \end{eqnarray}$ und diese kommt durch den Satz von der stetigen Inversen zustande, also muss das Bild für dessen Anwendung abgeschlossen sein, eine Ungleichung dieser Form gilt ja sogar (Stetigkeit vorausgesetzt) genau, wenn das Bild abgeschlossen ist.

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