Begründungsaufgabe am Kreis |
| 01.02.2019, 20:48 | Flohau506 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Begründungsaufgabe am Kreis Hallo, ich bräuchte da mal Hilfe bei einer schweren Mathe Hausaufgabe 
Um das Urheberrecht des Mathebuchs nicht zu verletzen habe ich die Aufgabe in GeoGebra nachgezeichnet. M ist Mittelpunkt des Kreises um M mit dem Radius r Das Dreieck EGF ist gleichseitig (hab das in GeoGebra nicht besser hinbekommen), dabei liegen E und G auf der Kreislinie, während F im Inneren des Kreises liegt. Der Punkt H ist von G verschieden und liegt auch auf der Linie des Kreises, dabei sind die Strecken HE und EG gleich lang. Nun ist noch anzumerken, dass die Gerade durch die Punkte H und F die Kreislinie in I schneidet. Nun soll begründet werden, warum die Strecke FI genauso lang wie der Radius des Kreises ist. Ich freu mich auch über Lösungsansätze.
Lg flo Meine Ideen: Meine Idee wäre der Ansatz, über ein Gleichschenkliges Dreieck MFI zu begründen, könnt aber sein, dass das auch völlig danebenliegt. |
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| 02.02.2019, 21:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe ist tatächlich nicht leicht, obwohl letztendlich nur Geometriekenntnisse aus der Unterstufe nötig sind. Der Beweis ist durchwegs über die Winkel zu führen. 1. Das Dreieck HEF ist gleichschenkelig 2. Im Dreieck EGF sind alle Winkel gleich 60° 3. ist der Winkel EFH 4. ist der Winkel FGI 5. Der Winkel IFG ist 6. Der Winkel HEG (über der Sehne HG) ist EDIT (mY+): Schreibfehler korrigiert. Die Punkte H, G, E, I bilden ein Sehnenviereck! Nütze daher dessen Eigenschaft, dass die Summe gegenüberliegender Winkel gleich 180° ist. Damit wird gezeigt und die Tatsache, dass das Dreieck FGI gleichschenkelig ist. Es ist dann FI = GI. Im Folgenden ist endlich der Kreis mit seinem Radius ins Spiel zu bringen. Zu zeigen ist, dass der Winkel EMH = gleich dem Winkel ist. Im Dreieck HGM ist der Peripheriewinkel bei E gleich dem halben Zentriwinkel (Peripheriewinkel-Satz), also gleich . So sollst du auf kommen! Da nun die beiden Winkel EMH und GIF gleich sind, sind die beiden Dreiecke HEM und FGI kongruent, weil den beiden Winkeln auch jeweils die gleiche Seite (die anfangs gewählte Sehnenlänge) gegenüberliegt. Infolgedessen gilt i = n = r und das Dreick GIM ist immer gleichseitig. [attach]48924[/attach] Die Bezeichnungen entnimmst du bitte aus der Grafik (die übrigens ebenfalls mit GeoGebra erstellt wurde). Deine weitere Aufgabe ist es nun, das Szenario nochmals von Anfang an durchzurechnen und in GeoGebra vollständig zu realisieren. Führe dazu für die Sehnenlänge s einen Schieberegler ein und zeige, dass auch bei Verändern von s das Dreieck GIM immer gleichseitig ist und die Längen n und i konstant gleich r bleiben. Möglicherweise gibt es für den Beweis noch einen einfacheren Weg, mir reicht jedoch schon dieser hier. Alternativen sind willkommen! mY+ |
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| 03.02.2019, 11:32 | Flohau5061 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Danke :) Echt vielen vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast
Allein wär ich da glaub ich nie drauf gekommem... Danke
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| 13.02.2019, 16:13 | eeps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo mYthos,
Wenn "3." gilt (das sehe ich so auch in deiner Grafik), dann kann ich aber "+ 60°" in "6." nicht nachvollziehen.
Ich habe hier eine Herleitung, die ohne die Begriffe Sehnenviereck (und Erkenntnisse über darinliegende Winkel oder etwa einen "Satz über Sehnenvierecke") und Peripheriewinkel auskommt (Auch ohne den Satz "Umfangswinkel gleich halbem Mittelpunktswinkel"). Aber solange ich nicht behaupten kann, dass mein Rechenweg kürzer ist (er enthält ca. 13 rechnerische Implikationen in ca. 25 Zeilen und ca. 7 sprachliche Implikationen/Begründungen, dabei sind auch Eigenschaften gleichschenkliger Dreiecke), will ich den hier nicht angeben. |
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| 13.02.2019, 17:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier und da kann man vielleicht bei den diversen Winkelbetrachtungen noch etwas straffen, aber nur unwesentlich: Insgesamt eine schöne Lösung, mit der Kernidee des Kongruenznachweises von und ! 
@eeps Letztlich sind Umfangwinkel- bzw. Kreiswinkelsatz auch nur Aussagen, die man über ein paar gleichschenklige Dreiecke im Kreis beweisen kann. Insofern ist es verständlich, dass man das ganze hier auch ohne diese Sätze, dann aber mit ein paar Schritten mehr beweisen kann. Möglicherweise ziehen manche dann eine solche Variante vor, da die erwähnten Sätze, geschweige denn gar Eigenschaften des Sehnenvierecks, wohl komplett aus den Lehrplänen der Schulen verschwunden sind. 
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| 13.02.2019, 17:19 | hgseib | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kein beweis, aber mal überlegungen zum problem. oft kann man ein problem auch 'inverse' betrachten. [attach]48921[/attach] falls man meinen anhang sieht (auch geogebra) : (EDIT: ich sehe meinen anhang schwarz? geöffnet ist das bild aber ok) EDIT (mY): Bild konvertiert. - 1.kreis A mittelpunkt B kreisradius - C beliebiger (verschiebbarer) punkt auf dem 1.kreis - 2.kreis um C mit A als radius (also zuerst den zu begründenden radius erzeugen) - D beliebiger (verschiebbarer) punkt auf dem 2.kreis - stahl C über D ist die gegebene gerade, G deren schnittpunkt mit dem kreis - F schnittpunkt beider kreise - die strecke D-F ist eine seite des eigentlich gegebenen dreiecks - A-H ist die mittensenkrechte zwischen F+G (das erzwingt das gleichseitige 3eck) - H ist auch F über die gerade A-D gespiegelt so gesehen ist es kein 'wunder', das der radius der radius ist. das dreieck ist nicht ursache sondern auswirkung. man kann 'alles mögliche' an den radius konstruieren und dann fragen: warum gerade das den radius ergibt ;-) vielleich kann man damit auch einen beweis führen. vielleicht ist das aber auch das gleiche ergebnis wie schon von mYthos geliefert. jedenfalls eine andere sichtweisse - und darum geht es letztendes. |
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| 13.02.2019, 17:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. Ich nehme sie trotzdem durch, so lange, bis man sie mir unter Androhung von Zuchthaus verbietet. |
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| 13.02.2019, 17:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@hgseib Technischer Hinweis: Bleibst du bei den Pixelbildmaßen bei eingebetteten Bildern unterhalb von 400 x 450, dann offenbart sich der Inhalt solcher transparenten Bilder auch ohne Draufklicken.
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| 13.02.2019, 17:47 | hgseib | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ot danke für die info. ich darfs nicht mehr ändern (zu spät) - aber beim nächstenmal weiss ich bescheid. |
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| 14.02.2019, 14:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Bild erschien auch bei mir mit schwarzem Hintergrund. Ich habe es in Paint geladen und dort als JPG wieder abgespeichert. Dass dabei die Transparenz verloren geht, spielt in diesem Fall keine Rolle. mY+ |
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| 14.02.2019, 15:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte kürzlich auf ARTE den mir bis dato unbekannten Film Wer den Wind sät gesehen: Meinst du, was mit dem Darwin-Lehrer dort passierte, kann auch hierzulande einem tapferen Geometrie-Verfechter drohen? Diesmal aber nicht durch fanatische Bibelausleger, sondern rigorose Lehrplanüberwacher (gibt's sowas?). 
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| 14.02.2019, 15:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Recht. Aber es ist nur ein Schreibfehler, denn der Beweis wurde dann ohnehin mit dem Winkel HEG weitergeführt. Richtig muss es also lauten: 6. Der Winkel HEG (über der Sehne HG) ist Die Punkte H, G, E, I bilden ein Sehnenviereck! Danke für die Aufmerksamkeit, ich werde dies in Kürze auch in der Grafik korrigieren! Gr mY+ |
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| 14.02.2019, 16:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Solange die Noten "stimmen", interessiert sich (fast) kein Mensch dafür. Erst wenn das nicht mehr ist, liegt's natürlich am "falschen" Stoff. |
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| 14.02.2019, 16:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht AH, sondern AD. ------ [attach]48923[/attach]
Der 'reverse-mode' kann oft reizvoll sein und natürlich auch zum Erfolg führen. Die Sache, die aber dann hier noch zu klären ist, ist zu zeigen, dass das Dreieck DGH gleichschenkelig (mit der Basis DG) ist. Damit ist auch GH = FH. mY+ |
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