Größte offene Menge, auf der eine Funktionenreihe holomorph ist.

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NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »
Größte offene Menge, auf der eine Funktionenreihe holomorph ist.
Die folgende Aufgabe stammt aus dem bayerischen Staatsexamen Analysis/Funktionentheorie (Herbst 2018, Thema 2, Aufgabe 2 (a)).

Zitat:

(i) Zeigen Sie, dass die Reihe

absolut konvergiert für jedes und die Funktion , die so entsteht, stetig ist auf .

(ii) Geben Sie (ohne Beweis) die größte offene Menge an, sodass die Funktion durch auf definiert und holomorph ist.


Während Teil (i) klar ist, bereitet mir Teil (ii) etwas Kopfzerbrechen. Es ist in der Aufgabenstellung zwar kein Beweis verlangt, und man könnte in der Prüfungssituation einfach raten und die Menge als ganz mit Ausnahme der Nennernullstellen der einzelnen Summenglieder definieren. Das funktioniert dann nicht ganz, da ein Häufungspunkt der Menge der Nennernullstellen ist; sie darf also auch nicht in enthalten sein.

Mich würde aber eine elementare Herleitung dessen interessieren und ich frage mich daher, ob es eine elementarere Herleitung als die in meinen Überlegungen unten gibt, um auf das schon vermutete

zu kommen.

An einer elementareren Lösung als meine untenstehende bin ich interessiert, da die von mir verwendeten Methoden (Partialbruchzerlegung des Cotangens) nicht in der Vorlesung über komplexe Analysis für Lehramtsstudierende an meiner Universität gelehrt werden. Außerdem war die Aufgabe nur einen Punkt wert, und deswegen glaube ich, dass ich vielleicht eine andere Herleitung übersehen habe. (Raten kann ja nicht Sinn der Aufgabe sein... aber vielleicht war der Sinn der Aufgabe zu erkennen, dass gelten muss? Wer weiß.)

Ich wäre dankbar für jede Hilfe, hier gibt es ja Experten für sowas, wie z.B. HAL 9000. smile

Der Vollständigkeit halber meine Lösung:

Ich verwende die Partialbruchzerlegung des Cotangens:



Substituiert man und formt etwas um, so erhält man



Nun führt man die Substitution durch und erhält



oder äquivalenterweise,



Daraus folgt dann die Behauptung.
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