Matrixgleichung auflösen |
02.02.2019, 00:29 | 1lc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Matrixgleichung auflösen . --> --> Folgende Bedingungen gelten: und sind symmetrisch. ist die Einheitsmatrix. Habe schon rumgerechnet, aber Ich komme immer wieder darauf dass dafür gelten muss. Also hier speziell kommutativität. Das ist aber schwer zu zeigen, oder gibt es einen einfacheren Weg? |
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02.02.2019, 12:32 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrixgleichung auflösen Das dürfte im allgemeinen auch falsch sein. Für Matrizen sollte es stimmen, da die symmetrischen Matrizen den Normalraum zu in der Identität bilden und die abelsch ist. Im allgemeinen sehe ich nicht warum das richtig sein sollte. Ich sehe nicht einmal warum symmetrisch sein sollte (also wäre in dem Fall nicht wohldefiniert). |
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02.02.2019, 13:26 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn symmetrisch ist, dann ist auch symmetrisch. Das folgt aus und der allgemeinen Regel . |
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02.02.2019, 13:28 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cool |
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02.02.2019, 13:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus der Symmetrie einer Matrix folgt aber nicht, dass sie invertierbar ist. |
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02.02.2019, 16:00 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Gleichung lässt sich nach Voraussetzung umformen zu Betrachte nun die Matrix . Aus folgt, dass von der Form sein muss, wobei antisymmetrisch ist, d.h. . Angenommen, sei invertierbar. Dann ergibt sich Daraus folgt und somit also Demnach ist ist symmetrisch. |
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02.02.2019, 16:44 | 1lc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, den Rechengang habe Ich verstanden, aber wieso folgt daraus ? |
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02.02.2019, 17:04 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß es nicht. Aber wenn es gibt, dann wird irgendwann jemand ein Beispiel posten. Beachte dazu, dass mit auch invertierbar ist. Eine invertierbare Matrix (ein Element der Einheitengruppe) kann niemals Nullteiler sein. Demnach ist , wenn war. |
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02.02.2019, 17:27 | 1lc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, dann werde Ich wohl meinen Übungsleiter fragen müssen. Vielen Dank! |
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02.02.2019, 18:24 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass eine Lösung ist, sieht man sofort durch Einsetzen in die Gleichung. Es stellt sich ja die Frage, ob es noch andere Lösungen geben kann. Ich hab mal ein bisschen recherchiert und im Artikel Sylvester-Gleichung einen Satz gefunden, aus dem ergibt sich in unserem Fall dass notwendigerweise und einen gemeinsamen Eigenwert besitzen müssen um mehr als eine Lösung erhalten zu können. Bei einer 2×2-Matrix muss dann sein. Die Eigenwerte ±1 hat gerade die symmetrische Matrix das ist die Matrix zur Spiegelung an der Achse in Richtung . Daher gilt . Tatsächlich ergibt sich für ein beliebiges eine Lösung bzw. Die Matrizen und dürfen natürlich nicht kommutieren, denn dann wäre ja , was nur für gilt. |
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