Fundamentalsatz de Algebra für unendliche Polynome |
| 02.02.2019, 15:47 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Fundamentalsatz de Algebra für unendliche Polynome wegen dem Fundamentalsatz der Algebra kann ja die Produktdarstellung eines endlichen Polynoms mittels Linearfaktorzerlegung begründet werden. Da der Sinus als unendliche Reihe auch ein unendliches Polynom mit unendlich viele Nullstellen ist, ist der Sinus auch als unendliches Produkt darstellbar (siehe Sinus-Produkt von Euler). Jetzt Frage ich mich wie man den Fundamentalsatz der Algebra auf unendliche Polynome anwenden kann. Ich komme da auf keine Idee, wie sich der Fundamentalsatz der Algebra auf unendliche Polynome ausweiten lässt. Hat da jemand eine Idee oder kennt ein Buch oder sonstige Quelle, in der das thematisiert wird? Schon einmal vielen Dank im voraus. LG Sid |
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| 02.02.2019, 15:58 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, wenn du mit unendliches Polynom eine Potenzreihe meinst, so ist der Satz schlicht nicht ausweitbar auf diese Funktionen, siehe Exponentialfunktion. |
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| 02.02.2019, 16:34 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Guppi12, soweit ich weiß ist der Sinus auch als Potenzreihe darstellbar. Warum soll dann der Fundamentalsatz der Algebra darauf nicht anwendbar sein? Gerade das Sinus-Produkt von Euler zeigt, dass man den Fundamentalsatz der Algebra auf unendliche Polynome anwenden kann. Oder täusche ich mich da? |
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| 02.02.2019, 17:02 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, du täuscht dich massiv. Polynome und Potenzreihen sind zwei sehr verschiedene Objekte. Und weil sich der Sinus zufällig so schreiben lässt gilt das nicht für alle Potenzreihen. Ein Beispiel bei dem es nicht geht wurde doch bereits genannt: Die Exponentialfunktion, die hat gar keine Nullstellen. man kann mit einem Beispiel keine allgemeine Aussage beweisen, nur widerlegen. |
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| 02.02.2019, 18:51 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es bedeutet nur dass es allgemein nicht gilt. Was ist aber mit einem unendlichem Polynom mit unendlich vielen Nullstellen wie der Sinus. Die Überlegung hinter Eulers Sinus Produkt ist ja gerade der Fundamentalsatz der Algebra angewendet auf ein unendlichs Polynom. Es hatte nur damals keinen Beweis dafür. Daher bin ich der festen Überzeugung, dass sich der Fundamentalsatz auf unendliche Polynome anwenden kann, wenn diese unendlich viele Nullstellen hat. nur wie ist die Frage. Ich lasse mich da auch gern eines besseren Belehren, nur verstehen ich dann das Sinus-Produkt von Euler nicht mehr. 
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| 02.02.2019, 19:17 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und das heißt in der Mathematik: Es gilt nicht. Es gilt manchmal ist komplett sinnfrei.
Was soll das überhaupt sein? Das ist kein in der Mathematik üblicher begriff und google spuckt auch nichts aus.
Nein, ist es nicht. Es gilt in diesem Spezialfall eine analoge Aussage zum Fundamentalsatz. Das ist keine Anwendung des Fundamentalsatzes. Denn die Voraussetzungen des Fundamentalsatzes sind nicht erfüllt. |
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| 02.02.2019, 19:42 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Danke für die Antwort. Zuerst: Ein unendliche Polynom ist eine unendliche Reihe (wie z.B. der Sinus nach Taylor entwickelt). Meine Vermutung war, dass sich der Fundamentalsatz der Algebra auf unendliche Reihen übetragen lässt, wenn diese unendlich viele Nullstellen haben. Ich dachte das muss funktionieren, da das Sinus-Produkt von Euler eine analoge Aussage zum Fundamentalsatz darstellt. In der Vorlesung in der wir das behandelt haben hat es sich auch so angehört, als ob man das Sinusprodukt aus dem Fundamentalsatz folgern könnte. Aber anscheinend geht das ja nicht. Vielen danke für deine Antwort. Falls jemand noch mehr zu diesem Thema weiß würde ich mich freuen mehr dazu zu hören.
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| 02.02.2019, 20:27 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ergibt für mich überhaupt keinen Sinn, der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass jedes nicht konstante Polynom über C eine Nullstelle hat. Natürlich hat jede Potenzreihe mit unendlich vielen Nullstellen eine Nullstelle, das ist trivial, wozu willst du also noch ein Analogon zum Fundamentalsatz für Potenzreihen mit unendlich vielen Nullstellen, wenn die Aussage trivial ist? |
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| 02.02.2019, 20:53 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In einer Vorlesung haben wir behandelt, dass man aus dem Fundamentalsatz der Algebra die Linearfartorzerlegung, also die Darstellung eines jeden Polynoms als Produkt, ableiten kann. Das wurde dann "einer Idee von Leonard Euler folgend" auf den Sinus übertragen und damit das Sinus-Produkt von Euler "hergeleitet". Unklar war mir, ob man 1) den Sinus als unendliches Polynom schreiben kann (meiner Meinung nach ja, weil man ihn als unendliche Taylor Reihe entwickeln kann) 2) den Fundamentalsatz (unter gewissen Bedingungen) auf unendliche Polynome (unendliche Reihen) übertragen kann. |
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| 02.02.2019, 21:52 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Fundamentalsatz sagt nur, dass ein nicht konstantes Polynom eine Nullstelle hat. Das Abspalten des entsprechenden Linearfaktors ist eine Konsequenz der Division mit Rest. Das mag die Konfusion in diesem Thread erklären (es erklärt jedenfalls meine 
)Einen Linearfaktor kann man aus einer Potenzreihe abspalten. Genauer: ist und , dann kann man f in eine Potenzreihe (mit evtl. kleinerem Konvergenzradius) um entwickeln, . Wegen ist , also . Natürlich kann man das gleiche für die verbliebene Reihe machen, wenn sie denn eine Nullstelle hat. So wirklich gewonnen hat man damit nichts, weil die Koeffizienten eher sperrig von den abhängen. |
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| 03.02.2019, 01:00 | Sid McKenzie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab mich da sehr ungeschickt ausgedrückt. Ich hätte klarer darauf eingehen sollen, dass ich die Linearfaktorzerlegung meine. 
Danke schonmal für deine Antwort. Dieses Abspalten einens Linearfaktors aus einer Potenzreihe. Hat der Satz einen speziellen Namen oder findet man den so in Analysis Büchern? Und kennst du den Satz auch im Zusammenhang mit einer Potenzreihe mit unendlich vielen Nullstellen? Ich habe meinen Versuch mit dem Sinus-Produkt noch nicht aufgegeben
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| 03.02.2019, 11:05 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Satz, dass man von holomorphen Funktionen ihre Nullstellen als Linearfaktoren abspalten kann, hat soweit ich weiß keinen eigenen Namen, er geht aber direkt zurück auf den Riemannschen Hebbarkeitssatz der komplexen Analysis. Mir ist immernoch nicht so ganz klar, was du genau möchtest. Falls es ein Statement der Art ist: "Wenn eine holomorphe Funktion unendlich viele Nullstellen hat, kann man sie darstellen als Produkt von Linearfaktoren." so ist dies nicht möglich. Nimm an, wäre eine holomorphe Funktion mit unendlich vielen Nullstellen. Dann hat für jede Funktion ohne Nullstellen (sowas gibt es, siehe Exponentialfunktion) die Funktion exakt die gleichen Nullstellen wie , sieht aber vielleicht völlig anders aus. Es ist also unmöglich nur anhand der Nullstellen auf die Gestalt der Funktion zu schließen. Anders herum geht es schon. Zu einer vorgegebenen Menge von Nullstellen, die ein paar Voraussetzungen erfüllen muss, gibt es immer eine holomorphe Funktion, die genau diese Nullstellen hat, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%...er_Produktsatz. |
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