Symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch

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Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Hallo,

ich lerne gerade für meine Klausur und verstehe eine Übungsaufgabe nicht.
Ich soll entscheiden, welche der Untergruppen der zyklisch und/oder abelsch sind.

Mein Verständnis war bisher:
- abelsch, wenn kommutativ
- eine Gruppe ist zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt werden kann
- alle zyklischen Gruppen sind abelsch
- alle Untergruppen von zyklischen Gruppen sind auch zyklisch
- symmetrischen Gruppen mit n > 2 sind nicht abelsch

Hier sind 2 der angegeben Untergruppen:
(1){id, (15), (234), (243), (234)(15), (243)(15)}


(2){id, (12), (34), (12)(34)}

keine der beiden kann durch ein Element erzeugt werden, oder? Dementsprechend nicht zyklisch.
Ich habe (2) gestestet und bin der Meinung, dass sie abelsch ist (oder ich habe mich verrechnet?).

Komme irgendwie nicht so richtig weiter. Insbesondere fällt es mir schwer zu bestimmen, ob eine (Unter-)Gruppe zyklisch ist.
Wäre nett, wenn mir da jemand noch etwas helfen könnte.

Danke und liebe Grüße
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RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Die Gruppe in (1) hat Ordnung 6. Welche Ordnung hat z.B. (234)(15) ?
Die Gruppe in (2) hat Ordnung 4. Davon gibt's nur zwei, beide abelsch. Welche Ordnung haben die angegebenen Gruppenelemente?
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Ich denke:
(234)(15) und (243)(15) haben die Ordnung 3, wie auch (243) und (234). (15) hat die Ordnung 2.

Die Elemente in (2) haben alle Ordnung 2 (bis auf die id natürlich)

Welche Schlüsse kann ich denn daraus ziehen?
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RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Rechne mal die Potenzen von (234)(15) aus, dann siehst du, dass die Ordung nicht drei ist.
Edit: Vielleicht hast du dann auch schon eine Vermutung, wie die Ordnung der Permutation mit der Ordnung der Zyklen zusammenhängt

Wenn du in (2) kein Element der Ordnung vier hast.. kann dann die Gruppe zyklisch sein?
Die andere Gruppe der Ordnung vier ist die Kleinsche Vierergruppe.
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Tatsächlich, ich hatte mich verrechnet - die Ordnung ist 6. Ich hab bei meiner Rechnung die (15) einfach wegfallen lassen...!

Ist die Ordnung des Elements gleich dem kgV der Größe der Zyklen?

Damit kann die Gruppe (1) zyklisch sein, da ein Element ex. mit der gleichen Ordnung wie der Gruppe.


Damit ist (2) nicht zyklisch, da kein Element existiert mit ord(g) = ord(G). Verstehe ich das gerade richtig?
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RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
In der Tat. Jede Permutation lässt sich als Produkt elementfrender Zyklen schreiben und dann ist die Ordnung der Permutation gleich dem kgV der Ordnungen der Zyklen.
Die Gruppe in (1) kann nicht nur zyklisch sein, sie ist zyklisch.

(2) ist nicht zyklisch, korrekt.
 
 
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Danke!!
Ist es denn immer so, dass eine Gruppe zyklisch ist, wenn ein Element mit der gleichen Ordnung wie die der Gruppe existiert?

Liebe Grüße
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RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Ja, das ist immer so. Das ist auch nicht schwer einzusehen: Wenn die Gruppe G und auch das Element g die Ordnung n haben, dann enthält die von g erzeugte Untergruppe von G genauso viele Element wie G. Also ist die Untergruppe schon die ganze Gruppe G.
Vladima123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: symmetrische Gruppe / Untergruppe zyklisch/abelsch
Stimmt. Danke Dir, habe es jetzt verstanden smile
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