Funktionentheorie

03.02.2019, 17:30

Mondragondon

Funktionentheorie

Meine Frage:
Es sei f : C ? C analytisch mit f(z) = -1 für |z| = 3. Bestimmen Sie den Wert
f(2).

Es sei g : C ? C analytisch mit g(z) = (z-1)^2
für |z| = 2. Berechnen Sie den Wert
g''(1)

Meine Ideen:
Ich weiß leider gar nicht wie ich da vorgehen soll, wäre super cool wenn Ihr mir da ein Lösungsvorgehen aufzeigen könntet

03.02.2019, 18:27

Guppi12

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Hallo,

versuchs mal mit dem Identitätssatz.

03.02.2019, 20:38

Mondragondon

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Danke für deine schnelle Antwort, ich komm mit deinem Tipp aber leider gar nicht auf einen grünen Zweig ...

03.02.2019, 21:10

Guppi12

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Kennst du denn den Identitätssatz?

03.02.2019, 21:10

Mondragondon

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Hatte in angesehen aber nicht so richtig durchblickt

03.02.2019, 21:13

Guppi12

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Der Identitätssatz liefert ein Kriterium dafür, wann zwei holomorphe Funktionen gleich sind, wenn sie auf dem gleichen Gebiet definiert sind. Und zwar ist dies der Fall, wenn sie auf einer Menge mit Häufungspunkt übereinstimmen.

Soweit klar?

03.02.2019, 21:14

Mondragondon

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Kann man da mit der Cauchy-Integralformel nicht besser mit vorgehen?

03.02.2019, 21:18

Guppi12

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Also hast du doch eine Idee, wie man vorgehen könnte, am Anfang hörte es sich so an, als hättest du keine Idee, daher habe ich dir diesen Tipp gegeben, weil es damit am einfachsten geht.

Ja, es geht auch mit der Integralforme, ob das nun besser oder schlechter ist, will ich nicht beurteilen, schneller ist es sicher nicht.

Dann sag doch, was du dir da für Gedanken gemacht hast.

03.02.2019, 21:24

Mondragondon

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Ich müsse dann ja irgendwie sowas in der Art haben

int f(z) / (z-2) dz oder ?

03.02.2019, 21:27

Guppi12

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Ja genau, integriert über den Kreis um 0 mit Radius 3. Es fehlt aber noch der Faktor 1/(2pi i).

03.02.2019, 21:27

Mondragondon

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Ich weiß jetzt auch nicht ob das totaler Quatsch ist, aber am Ende müsste ich dann ja -2*pi*i erhalten, oder?

03.02.2019, 21:29

Guppi12

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Keine Ahnung, wie du darauf kommst, dafür müsstest du deine Rechnung vorführen (dann aber bitte mit Formeleditor)

Das Ergebnis ist leider nicht richtig.

Edit: Achso, wenn du den fehlenden Vorfaktor ergänzt, stimmt es doch.

03.02.2019, 21:33

Mondragondon

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\int \! -1 /(z-2) \, dz = 2\pi*i * f(2)

Man kann ja die Cauchy Formel umstellen

und 2\pi*i auf die andere Seite schreiben

und für f(2) berechne ich f(2)= -1, da f(z)= -1

03.02.2019, 21:34

Mondragondon

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$\begin{eqnarray*} \int \! -1 /(z-2) \, dz = 2\pi*i * f(2) \end{eqnarray*}$

03.02.2019, 21:37

Guppi12

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Also das ist nicht sehr verständlich leider. Es kann gut sein, dass du das richtige meinst, das ist aus deinem Beitrag nicht ersichtlich.

Wie genau schließt du jetzt, dass $\begin{eqnarray*} f(2) = -1 \end{eqnarray*}$ ist? Du schreibst $\begin{eqnarray*} f(2) = -1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(z) = -1 \end{eqnarray*}$ , das ist aber erst einmal nur für $\begin{eqnarray*} |z| = 3 \end{eqnarray*}$ gegeben, da $\begin{eqnarray*} |2| \neq 3 \end{eqnarray*}$ , kannst du dies also nicht verwenden oder schließt du das irgendwie anders?

Die Idee, dass man das Integral nicht wirklich ausrechnen muss, sondern dafür auch die Integralformel verwenden kann, ist schon sehr gut, nur muss man das dann richtig ausführen, insbesondere darf man die Funktion, auf die man sie dann anwendet, nicht wieder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nennen.

03.02.2019, 21:38

Mondragondon

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Ich werde in a) ja explizit nur für |z| = 3 gefragt da müsste dass dann doch passen, oder?

03.02.2019, 21:39

Guppi12

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Nein, in a) wird nach $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ gefragt, in wiefern "passt das" denn zu $\begin{eqnarray*} |z| = 3 \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2019, 21:39

Mondragondon

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Kann auch gut sein, dass ich es noch nicht so ganz verstehe, was würde mir dann nun fehlen?

03.02.2019, 21:42

Mondragondon

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Wir hatten in dem Tutorium dazu wirklich nur ganz wenig und ich raffs noch nicht so ganz ...

03.02.2019, 21:48

Guppi12

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Ich fasse mal zusammen, was wir bisher haben.

Nach Cauchy-Integralformel gilt $\begin{eqnarray*} f(2) = \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=3}\frac{f(z)}{z-2}dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=3}\frac{-1}{z-2}dz \end{eqnarray*}$ .

Dabei gilt die letzte Gleichung, weil wir wissen, dass auf dem Integrationsweg $\begin{eqnarray*} f(z) = -1 \end{eqnarray*}$ gilt, für andere Werte von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wissen wir nicht, was $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist.

Dieses Integral müsstest du jetzt ausrechnen. Ich hatte deine bisherigen Posts so verstanden, dass du das auch mit dem Integralsatz machen möchtest oder habe ich dich da falsch verstanden?

Falls das deine Idee war, so musst du da jetzt mal ein bisschen Zeit investieren und überlegen, wie das geht, denn auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wirst du ihn nicht anwenden können, dann steht da ja wieder nur $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ und du weißst nicht, was das ist.

03.02.2019, 21:51

Mondragondon

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OK, aber wieso wissen wir denn nicht was f(z) ist, wenn dort steht f(z) = 1?

03.02.2019, 21:53

Mondragondon

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https://www.bilder-upload.eu/bild-ddde09-1549227175.png.html

03.02.2019, 21:53

Mondragondon

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Vielleicht kannst du bei der b) schauen wie das ist, das ist was aus der Übung und dort wird es doch auch so gehandhabt, oder nicht?

03.02.2019, 21:55

Guppi12

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Dort steht $\begin{eqnarray*} f(z) = -1 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} |z| = 3 \end{eqnarray*}$ .

Wenn der Betrag von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist dort angegeben, was $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist, für alle anderen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wissen wir das nicht, es steht einfach nicht da.

03.02.2019, 21:57

Mondragondon

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Ok, aber wie könnte man dann am Besten vorgehen? bin da grad etwas überfragt

03.02.2019, 22:00

Guppi12

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Zitat:

Dieses Integral müsstest du jetzt ausrechnen. Ich hatte deine bisherigen Posts so verstanden, dass du das auch mit dem Integralsatz machen möchtest oder habe ich dich da falsch verstanden? Falls das deine Idee war, so musst du da jetzt mal ein bisschen Zeit investieren und überlegen, wie das geht

Du kannst wie gesagt das Integral ja schon mit dem Integralsatz ausrechnen und das darfst du auch so machen, wie im Bild, du musst dir dafür nur selbst eine Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ definieren, auf die du den Satz anwenden kannst.

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