Determinante von Matrizen 4x4

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Moritz4321 Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante von Matrizen 4x4
Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich bin gerade bei der Berechnung von JNF und RJNF zugange und habe mich gefragt, ob es bei einer 4x4 (oder sogar hinaus bei einer nxn) Fälle gibt, in denen ich sofort sehe, ob die Determinante der Matrix gleich 0 ist (z.B. ähnlich wie bei der 3x3 Matrix).

Das ist ja dann entscheidend, ob meine gewählte Transformationsmatrix (nennen wir sie P) überhaupt invertierbar ist. Falls nicht, so hätte ich ja offenbar einen Fehler gemacht. Das soll quasi für mich als kleine Probe dienen und sollte daher nicht zu viel Zeit aufbringen.

Also frage ich hier wirklich nur nach Muster, an denen ich es sofort sehen kann. OHNE die Determinante zu berechnen.

Meine Ideen:
Die Determinante müsste in den folgenden Fällen doch 0 sein (und somit nicht invertierbar):

1) Es gibt innerhalb der Matrix P linear abhängige Spalten

2) Es gibt innerhalb der Matrix P linear abhängige Zeilen

3) Die Spur ist 0 (gilt zumindest für 3x3 => auch für den Fall nxn gültig?)

4) Es gibt eine obere oder untere Dreiecksmatrix (gilt zumindest für 3x3 => auch für den Fall nxn gültig?)

Sind meine ersten Gedanken sofort schon richtig? Und gibt es noch weitere Fälle?

Wäre euch für jede Hilfe dankbar :-)
Viele Grüße
Moritz
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

3) ist falsch. 4) vermutlich auch, kommt darauf an, was du unter Dreiecksmatrix verstehst.
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante von Matrizen 4x4
Wenn jede Zeilensumme Null ist, dann auch die Determinante. Analog für Spaltensummen.
Moritz4321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante von Matrizen 4x4
Vielen Dank schonmal!

@URL: Super Tipp. Das kannte ich so noch nicht. Hab es direkt mal ausprobiert. Stimmt natürlich smile

@Elvis: Ja den Fall 3) habe ich heute Mittag innerhalb meiner Lerngruppe schon schnell widerlegen können.

Mit oberer (oder unterer) Dreiecksmatrix meine ich, dass die Einträge unterhalb (oder oberhalb) der Hauptdiagonale gleich null sind. Ich vermute, du meinst auch diesen Fall? Also gilt Fall 4) auch nicht.

P.S.: Mal aus Interesse gefragt, was bezeichnet man denn noch als eine Dreiecksmatrix?
Moritz4321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante von Matrizen 4x4
Ach ja und bitte entschuldigt meine späte Antwort unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Dreiecksmatrix mit Nullen in der Hauptdiagonalen hat Determinante 0. Weil dann die 1 Spalte oder 1.Zeile 0 ist, fällt das unter den Fall 1) oder 2), denn der Nullvektor ist linear abhängig.
Moritz4321 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,
danke nochmal für deine Rückmeldung. Klar das leuchtet ein. Das meinte ich eigentlich auch mit Fall 3). Hier hatte ich mich aber leider mathematisch völlig falsch ausgedrückt, da es sich ja bei der Spur um die Summe der Hauptdiagonaleelemente handelt und nicht das die Einträge auf der Hauptdiagonalen alle 0 sind, was ich eigentlich meinte.
Da merkt man wieder, wie wichtig es ist sich richtig auszudrücken. Sorry dafür! Möchte das aber für einen eventuellen Leser richtig stellen, da das natürlich auch nicht für 3x3 Matrizen gilt (wäre mir zumindest nicht bekannt).
Dennoch ist Fall 3) dann noch zu unterscheiden in den Fall das tatsächlich oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen auch noch Nullen stehen oder nicht. Im ersten Fall wäre die Determinante 0 und im zweiten Fall könnte sie zwar 0 ergeben, aber nicht zwangsläufig. Beim zweiten Fall hatte ich nämlich schon ein entsprechendes Gegenbeispiel.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Eine Dreiecksmatrix mit Nullen in der Hauptdiagonalen hat Determinante 0.

Weil es vielleicht missverstanden werden könnte: Es reicht bereits aus, wenn mindestens ein Hauptdiagonalenelement Null ist, d.h., es müssen nicht alle Einträge dort Null sein.
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