Exponentialfunktion mit 2 e^() allgemein lösen

04.02.2019, 14:18

Jense85

Exponentialfunktion mit 2 e^() allgemein lösen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte gerne die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = a\cdot e^{b\cdot x} + c\cdot e^{d\cdot} \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt. Bitte den Term markieren und auf den f(x)-Button klicken!

allgemein nach x auflösen. Leider ist die Uni-Zeit schon ein wenig vorbei und ich hänge bei der Aufgabe. ;-) Mit einfachem logarithmieren bin ich bisher nicht weit gekommen.

Kann mir jemand dabei weiterhelfen?

Vielen Dank und Viele Grüße,
Jens

Meine Ideen:
Mit einfachem logarithmieren bin ich bisher nicht weit gekommen.

Kann mir jemand dabei weiterhelfen?

04.02.2019, 14:33

mYthos

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Das ist ein Funktionsterm und keine Gleichung. Was verstehst du unter ".. funktion lösen"?
WELCHE Gleichung willst du auflösen?

Edit: Geht es da eventuell um die Umkehrfunktion?

mY+

04.02.2019, 14:57

Jense851

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Äh sorry... Also ich will folgendes...

Ich bestimmte aus einer Messreihe mit Hilfe eines Fitting-Tools die Parameter a, b c und d für den o.g. Funktionsterm.

Im Anschluss möchte ich für eine gegebenen Messwert zurückrechnen.

Also:

$\begin{eqnarray*} y = a\cdot e^{b\cdot x} + c\cdot e^{d\cdot} \end{eqnarray*}$

Das möchte ich nun nach x auflösen, sodass ich mit Hilfe der Parameter, die ich ermittelt habe, den zugehörigen Wert berechnen kann.

Hoffe ich habe mich richtig ausgedrückt und es ist klar, was ich möchte. geschockt

Viele Grüße, Jens

04.02.2019, 15:05

mYthos

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Ja, so ist es klar, es ist die Umkehrfunktion, die bestimmt wird.
Nun, diese ist - wie vermutet - eine Logarithmusfunktion.
Lasse dich nicht von den verschiedenen e-Potenzen verwirren, es ist nur $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ von Bedeutung, die andere, $\begin{eqnarray*} e^d \end{eqnarray*}$ , ist eine Konstante.

Stelle wie folgt um:

$\begin{eqnarray*} \cancel{y - c \cdot e^d = a \cdot e^b \cdot e^x} \end{eqnarray*}$ Edit: Das ist leider falsch!

Kommst du nun so weiter?

Hinweis: Dividiere so, dass die e-Potenz $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ alleine steht und logarithmiere dann ..

mY+

P.S.: Warum antwortest du unregistriert? Du hast ja bereits einen Account.

04.02.2019, 15:14

Jense85

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Langsam wird es peinlich für mich... smile

Aber gut, ich taste mich an die Nutzung des Forums ran... Nochmals sorry...

Offensichtlich ist mir ein x in der Gleichung verloren gegangen:

$\begin{eqnarray*} y = a\cdot e^{b\cdot x} + c\cdot e^{d\cdot x} \end{eqnarray*}$

Bei der "einfachen" Exponentialfunktion wäre ich noch durch gekommen, aber dabei bin ich leider raus bzw. stehe auf dem Schlauch.

Außerdem habe ich zu spät bemerkt, dass ich eine automatische Email inkl. Accountdaten bekommen habe.

Viele Grüße, Jens

04.02.2019, 15:23

mYthos

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Kein Problem, am Anfang kann das schon mal passieren Augenzwinkern

-------

Zu der Funktion:
Wenn du die erste Antwort verstanden hast, kannst du es hier (fast) analog machen:

$\begin{eqnarray*} \cancel{a \cdot e^b \cdot e^x+c \cdot e^d \cdot e^x=y} \end{eqnarray*}$

Edit: Das war für diese Funktion leider falsch.

Nun?

mY+

04.02.2019, 15:33

Jense85

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Jetzt hast du mich endgültig verwirrt...

Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} e^{a} \cdot e^{x} = e^{a + x} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} (e^{a})^x = e^{a \cdot x} \end{eqnarray*}$

oder habe ich mich da jetzt so verrannt?

Falls ja, dann ist mir die Lösung soweit klar, denke ich... Logarithmus naturalis und ein wenig umstellen führt zum Ziel...

Viele Grüße, Jens

04.02.2019, 15:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jense85
$\begin{eqnarray*} y = a\cdot e^{b\cdot x} + c\cdot e^{d\cdot x} \end{eqnarray*}$

Es steht wohl außer Frage, dass alle vier Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ von Null verschieden sind, ansonsten ist es eine einfache Exponentialgleichung, die sich per Logarithmen lösen lässt.

Nun können wir o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} |b|\geq |d| \end{eqnarray*}$ annehmen, sonst tauschen wir die Summanden. Dann setzen wir $\begin{eqnarray*} \lambda := \frac{b}{d} \end{eqnarray*}$ , substituieren $\begin{eqnarray*} z = e^{dx} \end{eqnarray*}$ und gelangen zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0 = az^{\lambda} + cz - y\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit dann $\begin{eqnarray*} |\lambda|\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \lambda\in\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ sind Lösungsverfahren solcher Polynomgleichungen bekannt; für $\begin{eqnarray*} \lambda\in\{-1,-2,-3\} \end{eqnarray*}$ lässt es sich in eine solche Polynomgleichung überführen. Dann gibt es noch ein paar rationale Zahlen, wo auch noch was "drin" ist wie $\begin{eqnarray*} \lambda\in\left\{\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right\} \end{eqnarray*}$ (vielleicht habe ich in dieser Liste noch die eine oder andere rationale Zahl vergessen).

Für die große Masse aller rationalen, und generell alle irrationalen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bleiben aber nur numerische Näherungsverfahren, um (*) zu lösen - nichts zu machen. unglücklich

04.02.2019, 15:48

mYthos

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Ojee, da habe ich jetzt leider einen argen Fehler produziert, Kommando zurück!

Die Umformung wäre nur für $\begin{eqnarray*} e^{b+x} \end{eqnarray*}$ richtig gewesen! Tut mir leid, ich bin nicht ausgeschlafen, hatte Nachtwache ...

Ich schaue mir das gleich nochmals an!

Edit: Das hat sich ja durch HALs Antwort erübrigt. Nochmals sorry!

mY+

04.02.2019, 16:50

Jense85

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Puh, okay...

Aber vielen Dank für die tolle Hilfe und die damit verbundene Mühe!

Viele Grüße, Jens

04.02.2019, 17:19

mYthos

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Du kannst dein Problem jedoch auch ohne einen exakten Funktionsterm für die Umkehrfunktion lösen, indem du bei der ursprünglichen Funktion die Variablen vertauschst.
Damit liegt für die Umkehrfunktion eine implizite Funktion - mit einem exakten Funktionsterm - vor.

Erstellst du nun dafür eine Parameterform, so kannst du dabei mittels Verändern des Parameters auch dafür eine beliebige Reihe von Wertepaaren erzeugen.

Dazu bietet sich natürlich ein CAS an (Excel, GeoGebra, etc). Hast du so etwas zur Verfügung?
(Ich habe dein Problem gut in GeoGebra nachvollziehen können Augenzwinkern

)

mY+

05.02.2019, 23:13

mYthos

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Hi!

Ich habe mir die Funktion nochmals angesehen und eine Lösung mittels CAS (Computer Algebraic System) erstellt. Das kann (bei mir) entweder in GeoGebra (freies Open Source Programm) oder auch in Excel (bzw. LibreOffice) gemacht werden, natürlich gibt es auch noch andere Möglichkeiten.

Ich habe jetzt mal davon ein GeoGebra-Arbeitsblatt erstellt, in dem auch die Parameter a, b, c und d verändert werden können.

Die sieht so aus:

[attach]48975[/attach]

Dabei sind die Parameter a, b, c, d frei verschiebbar (hier einmal b, d > 0, denn die Basen müssen positiv sein, die Exponenten a, c hingegen könnten durchaus auch negativ werden (allerdings kann es dann dazu kommen, dass in bestimmten Fällen keine Funktion vorliegt).
Die Funktionen f (grün) und die Umkehrfunktion f_{-1} werden in Abhängigkeit von diesen 4 Konstanten gezeichnet, wobei letztere als Parameterfunktion [(x=f(t); y=t)] von t dargestellt wird.
Mittels t können nun beliebige Wertepaare (Punkte) auf den Kurven festgelegt werden.
___________

In Excel ist die Umsetzung etwas anders. Da hier nicht wie in GeoGebra eine geometrische Lösung möglich ist, wird das Aufsuchen des Funktionswertes der Umkehrfunktion mittels des Solvers realisiert (falls du diesen nicht im Menü hast, dann füge ihn innerhalb Excel als AddIn hinzu).

[attach]48879[/attach]

mY+

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