Gemeinsame Verteilung von Würfeln

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perdina Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinsame Verteilung von Würfeln
Meine Frage:
Ein fairer Würfel wird 90 Mal geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechsen in den
ersten 60 Würfen, während die Zufallsvariable Y die Zahl der insgesamt geworfenen Sechsen angibt.
Wie weise ich nun nach, dass X und Y nicht unabhängig sind?

Meine Ideen:
Als Erwartungswert habe ich für
x= 10
und für
y=15 raus,
für die unabhängigkeit muss gelten.
Mein Problem hier ist jetzt, dass ich nicht weiß wie ich das nun Beweisen soll, da ich kein Beispiel gefunden hab.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Abhängigkeit lässt sich schwer rechnen, also nutzt man auf Umwegen im System vorhandene Unabhängigkeit:

Bezeichne zusätzlich die Anzahl der Sechsen in den Würfen 61 bis 90. Dann ist mit unabhängigen (!) . Das bedeutet insbesondere

.

Und das wars auch schon: Unabhängige Zufallsgrößen mit existierender Varianz sind unkorreliert. Daraus folgt im Umkehrschluss, dass korrelierte Zufallsgrößen nicht unabhängig sein können.

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Du kannst natürlich auch über Wahrscheinlichkeiten gehen, z.B. so: Sei die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf keine 6 zu würfeln. Dann ist und , aber

,

also keine Unabhängigkeit. Über die Gleichheit solltest du dir natürlich Gedanken machen. Augenzwinkern
perdina Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!

Kannst Du mir noch beim Berechnen des Korrelationskoeffizienten weiterhelfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher Korrelationskoeffizient? Der zwischen ?
perdina Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es bezeichne die Indikatorvariable für Augenzahl 6 beim -ten Wurf, d.h. für eine gewürfelte 6, sonst .

Dann sind die für unabhängig identisch verteilt, wir können also exemplarisch die Verteilung von nehmen.

Es folgt sowie , und damit (einsetzen und sehen, was raus kommt!).
 
 
perdina Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir!
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