Minimale Dreiecksfläche

06.02.2019, 16:02

Mr.Moe123

Minimale Dreiecksfläche

Meine Frage:
Im Punkt P(u/v), u>0, der Prarabel y=3-x^2 wird die Tangente an die Kruve gelegt. Wie muss man die Koordianten u und v von P wählen, damit das von der Tangente und den Koordiantenachsen begrenzte Dreieck minimalen Flächeninhalt hat?

Meine Ideen:
Ich habe die erste ablteiung gemachtt und erhalte für f´(x) = -2x
und da ich die tangenten funktion y=mx+b habe, habe ich folgendes eingesetzt v= 3-u^2= -2(u-u^2)+b
eingesetzt.
Leider komme ich da nicht weiter. Ich bin mir auch allerdings nicht sicher, ob mein Weg richtig ist.

Ich hoffe jemand kann mir helfen.

06.02.2019, 16:28

Steffen Bühler

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RE: Minimale Dreiecksfläche
Willkommen im Matheboard!

Du hast einen Punkt und die Steigung der Tangente, nun stelle die Tangentengleichung über die Punktsteigungsform auf. Über die Schnittpunkte mit den Achsen erhältst Du dann die Fläche des Dreiecks als Funktion von u. Ableiten, nullsetzen, auflösen.

Viele Grüße
Steffen

06.02.2019, 18:20

Mr.Moe123

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RE: Minimale Dreiecksfläche
danke für die antwort

was setzte ich denn nun für y1 y2 x1 und x2 ein?

06.02.2019, 19:32

mYthos

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Die beiden Punkte auf den Achsen sind $\begin{eqnarray*} C(x_1; 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(0; y_2) \end{eqnarray*}$ , das sind schon mal nur zwei Variable.
Nun musst du die beiden ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ ) durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ausdrücken und dann die Fläche in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ berechnen.

Zitat:

Original von Mr.Moe123
...
und da ich die tangenten funktion y=mx+b habe, habe ich folgendes eingesetzt v= 3-u^2= -2(u-u^2)+b
...

Da hast du richtig angefangen und dich dann etwas verrannt. Denn die Tangentengleichung hat nach wie vor die Variablen x, y und NICHT u,v.
(u, v) sind nur die Koordinaten des Parabelpunktes, für die gilt: $\begin{eqnarray*} v = -u^2+3 \end{eqnarray*}$ und da wird weder u noch v Null gesetzt.

Die Tangentengleichung lautet daher $\begin{eqnarray*} y = -2ux + u^2 + 3 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} u^2 + 3 \end{eqnarray*}$ ist dein b).

Nun, bis daher klar?

Also nimm deine Tangente und schneide sie mit den Achsen (x-Achse: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ , y-Achse: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ).
Das heisst, du setzt jeweils x=0 bzw y=0 in die Tangentengleichung ein, womit du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ in der Variablen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ bekommst.

So, und nun ist die Fläche eine Funktion von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , Ableiten, Null setzen, 2. Ableitung, und was halt sonst noch üblich ist bei Extremwertberechnungen.

[Kontrollergebnis: $\begin{eqnarray*} A(u)=\frac 1 4 \cdot \frac{(u^2+3)^2}u; u_{min}=1; A_{min} = 4 \ FE \end{eqnarray*}$ ]

mY+

06.02.2019, 20:16

Steffen Bühler

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RE: Minimale Dreiecksfläche

Zitat:

Original von Mr.Moe123
was setzte ich denn nun für y1 y2 x1 und x2 ein?

Entscheidend bei dem Wiki-Artikel ist $\begin{eqnarray*} f(x)= m \cdot (x-x_1) +y_1 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1|y_1)=(u|v)=(u|3-u^2) \end{eqnarray*}$ ist gegeben sowie die Steigung dort, nämlich $\begin{eqnarray*} m=-2u \end{eqnarray*}$ .

Nun setz mal ein.

06.02.2019, 20:25

mYthos

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@Steffen, ich habe noch editiert, während du geschrieben hast.
Entscheidend in diesem Thread ist, dass der TE die Koordinaten des Parabelpunktes (u,v) mit den laufenden Koordinaten (x,y) durcheinandergebracht hat.

Was ist jetzt x und was ist u? Das passiert in dieser Konstellation leider oft und man muss da höllisch aufpassen.
Mein Matheprofessor hat in diesem Zusammenhang oft gesagt: "Die Analytik is a Hund!" Big Laugh

Gr mY+

07.02.2019, 14:00

Mr.Moe123

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ich habe folgendes gemacht:

y=-2u(0-u)+3-u^2

=0+2u^2+3-u^2
=u^2+3

woher hast du die Funktion her, die du angegeben hast für dich Fläche?

Tut mir leid, villeicht denke ich zu kompliziert.

07.02.2019, 14:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Mr.Moe123
y=-2u(0-u)+3-u^2

Nicht so schnell. Ich würde noch nicht x=0 setzen, sondern erst einmal die allgemeine Tangentenformel hinschreiben, also $\begin{eqnarray*} y=-2u(x-u)+3-u^2 \end{eqnarray*}$

Das sieht für u=2 zum Beispiel so aus:

Die Fläche dieses Dreiecks wollen wir haben. Und wie macht man das? Richtig: Höhe mal Breite durch 2.

Die Höhe ergibt sich (ja, jetzt!) durch Setzen von x=0. Dann ist der y-Wert die Höhe. Und den hast Du schon berechnet: $\begin{eqnarray*} u^2+3 \end{eqnarray*}$

Und die Breite ergibt sich durch Setzen von y=0 und Auflösen nach x.

Du bist dran.

07.02.2019, 14:11

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Die Tangentengleichung lautet daher $\begin{eqnarray*} y = -2ux + u^2 + 3 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} u^2 + 3 \end{eqnarray*}$ ist dein b).
...

Du musst in die Tangentengleichung (sh. Beitrag von gestern!) $\begin{eqnarray*} y = -2ux + u^3 + 3 \end{eqnarray*}$ zunächst mal

x = 0 setzen: $\begin{eqnarray*} \to y = u^2 + 3 \end{eqnarray*}$

dann y = 0: $\begin{eqnarray*} \to x = \frac{u^2+3}{2u} \end{eqnarray*}$

Die sind jetzt die beiden Abschnitte auf den Achsen. Das halbe Produkt dieser beiden ergibt dann die Flächenfunktion!

Jetzt?

mY+

07.02.2019, 14:15

Mr.Moe123

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Achsoo, ich muss zwei gleichungen herstellen

ich habe euch falsch verstanden. Ihr habt geschrieben: ich soll für y und x gleich 0 einsetzten.
das hat mich nähmlich verwirrt. ich wusste jetzt nicht das ich zwei gleichungen erstellen soll, wo jeweils y = 0 ist und x=0

Danke schön, endlich leuchtet mein zimmer ^^

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