Zusammenhang Laplace-Polynom und dessen Imaginärteil (Pole/Nullstellen)

06.02.2019, 18:28	Hammerfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Laplace-Polynom und dessen Imaginärteil (Pole/Nullstellen) Hallo zusammen. Ich suche einen Beweis für einen bestimmten Zusammenhang zwischen einer gebrochen-rationaler Funktion in der Laplace-Domäne und dem Imaginärteil davon, nachdem ich die Funktion entlang der komplexen Achse ausgewertet habe. Die Ausgangsfunktion sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} Z_{(s)}=s^{x}\cdot\frac{\prod \limits_{n=1}^{N}(s^{2}+a_{n})}{\prod \limits_{m=1}^{M}(s^{2}+b_{m})} \end{eqnarray}$ x ist entweder +1 oder -1. D.h. das Polynom im Zähler hat nur gerade Koeffizienten und das Polynom im Nenner nur ungerade, oder umgekehrt. a und b sind hierbei rein reelle Zahlen und stets positiv. Die Polynome haben also nur konjugiert komplexe Nullstellen. Mich interessiert nun der Imaginärteil, nachdem ich die Funktion entlang der komplexen Achse ausgewertet habe. $\begin{eqnarray} X_{(\omega)}=Im\left(\left.s^{x}\cdot\frac{\prod \limits_{n=1}^{N}(s^{2}+a_{n})}{\prod \limits_{m=1}^{M}(s^{2}+b_{m})}\right\|_{s=j\omega}\right) \end{eqnarray}$ Ich soll nun folgendes Beweisen: Die Pole und Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} X_{(\omega)} \end{eqnarray}$ sind identisch mit dem Imaginärteil der Pole und Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} Z_{(s)} \end{eqnarray}$ , mit Ausnahme der Pole und Nulstellen bei null und unendlich. Durch "Ausprobieren" merkt man, dass dies der Fall ist. Nun brauche ich aber einen Beweis, welchen ich niederschreiben kann. Also setze ich ein: $\begin{eqnarray} Im\left((j\omega)^{x}\cdot\frac{\prod \limits_{n=1}^{N}(j^{2}\omega^{2}+a_{n})}{\prod \limits_{m=1}^{M}(j^{2}\omega^{2}+b_{m})}\right)=\pm\omega^{x}\frac{\prod \limits_{n=1}^{N}(\omega^{2}-a_{n})}{\prod \limits_{m=1}^{M}(\omega^{2}-b_{m})} \end{eqnarray}$ Man sieht nun schon, dass die Pole und Nullstellen zumindest Betragsmässig zusammenhängen, da der komplette Bruch durch die Substitution reell wird. Wie zeige ich aber nun, dass der Imaginärteil von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{m} \end{eqnarray}$ in der Laplace-Domäne gleich ist wie diejenigen der reellen Funktion? Danke für jede Hilfe

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