Integrierender Faktor |
07.02.2019, 09:33 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Integrierender Faktor ich soll zeigen, dass die folgende Differentialgleichung den integrierender Faktor hat. Ich frage mich, was der integrierender Faktor bei einer inhomogenen Differentialgeichungen ist. Ich kenne das nur von exakten DGLs. Kann mir da jmd sagen, was das in diesem Kontext ist? |
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07.02.2019, 09:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau darum geht es doch hier! Durch Multiplikation mit wird diese deine DGL zur exakten DGL, und das sollst du zeigen. Wesentlich für den Beweis ist die Eigenschaft dieses integrierenden Faktors. |
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07.02.2019, 09:55 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok gut. Muss ich die Dgl dann nicht erst mal in der Form umschreiben: g(x)y(x)-f(x) + y'=0. Dann würde ich die Integrabiltitätsbedinungen frmulieren, also Ist das der richtige Weg? |
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07.02.2019, 09:57 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau: Die Behauptung ist, dass eine exakte DGL ist. Als Beweis reicht es, eine Funktion anzugeben mit sowie . |
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07.02.2019, 10:08 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber wie soll ich dann den Ausdruck nach x integrieren. Das hilft mir doch nicht? |
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07.02.2019, 10:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Probier doch erstmal die andere Gleichung. P.S.: Außerdem wird nicht , sondern mit als fest stehendem nach integriert. Ein kleiner, aber inhaltlich wichtiger Unterschied in dieser Betrachtungsweise! |
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07.02.2019, 10:24 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die andere Gleichung liefert Ich hätte gedacht, dass das y von x abhängt, aber wsl dann eben nur implizit, deshalb kann man y schreiben? Wegen k'(x)=k(x)g(x) (Darf ich das hier verwenden?) Bekomme ich für die 2. Gleichung: |
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07.02.2019, 10:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufpassen! Du musst unterscheiden zwischen der Funktion mit zwei frei wählbaren Argumenten einerseits, sowie dem für die Lösung der DGL dann geltendem mit irgendeiner Konstanten andererseits. Den Unterschied solltest du auch inhaltlich begreifen. ist erstmal richtig, aber dann hast du irgendwas vermurkst: Einsetzen in die erste Bedingung liefert dann nämlich die Bedingung . Wir haben somit , und der Beweis ist komplett. P.S.: Ein weiteres C(y) gibt es hier nicht! |
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07.02.2019, 11:10 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry für die Verzögerung. Es gibt kein C(y), da das y nicht frei wählbar ist, sondern von x abhängt? In dem Beweis verwendet man also die gegebene Darstellung von k. Am Ende konntest du die Lösung der dann exakten gemachten Dgl angeben, damit war k in der Tat ein integrierender Faktor. Waren das deine Überlegungen? |
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07.02.2019, 11:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß nicht, was die Diskussion soll? Mit ist das Thema erledigt, warum soll bei der Integration von wieder ein hineingemogelt werden??? Da steht nicht ohne Grund statt .
Hab ich doch von Anfang an beschrieben, oben 9:57. |
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07.02.2019, 11:44 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klar. Du hast völlig Recht. Tut mir leid für diese Dummheit. Es gibt keine Diskussion. Wenn wir bei der inhomogenen Dgl bleiben existiert doch eine homogene Lösung auf einem Intervall I , solange g stetig auf I ist. Auch weiß man, dass diese Lösungen einen Unterraum bilden, also jede Linearkombination Lösung ist. Für 2 spezielle Lösungen sieht man, dass deren Differenz wieder das homogene Problem löst . Durch die Anfgangsbedinungen sieht man dann, dass diese spezielle Lösung eindeutig bestimmt ist. Wie kann man aber die Existenz einer speziellen Lösung garantieren? Geht das über Varation der Konstanten? Man bekommt einen Ausdruck für C'(x) der von der rechten Seite, in meinem Fall f abhängt und Warum sollte das Integral darüber existieren? f müsste auf jeden Fall stetig sein. |
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07.02.2019, 14:23 | Sarah341 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann die Existenz sicherstellen? |
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