Komplexe Zahlen

09.02.2019, 13:50	JustMaths	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen Meine Frage: Unter Gebrauch der Eulerschen Formel weisen Sie nach, dass gilt: $\begin{eqnarray} sin (3\alpha) = 3 sin (\alpha) - 4 sin^3 (\alpha) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein bisheriger Stand aktuell: $\begin{eqnarray} e^{3\alpha i} = e^{2\alpha i} e^{\alpha i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos (3\alpha) + i sin (\alpha) = (cos (2\alpha) + i sin (2\alpha))(cos(\alpha)+isin(\alpha)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} cos (2\alpha) cos (\alpha) + i cos (2 \alpha) sin (\alpha) + i sin (2\alpha) cos (\alpha) - sin (2\alpha) sin (\alpha) \end{eqnarray}$ Real- und Imaginärteil sortiert ( nur der Imaginärteil ist hier relevant) = $\begin{eqnarray} cos (2\alpha) cos (\alpha) - sin (2\alpha) sin (\alpha) + i (cos (2\alpha) sin (\alpha) + sin (2\alpha) cos (\alpha) \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Könnte mir bitte jemand behilflich sein? ich würde im Imaginärteil hier noch den $\begin{eqnarray} cos (2\alpha) \end{eqnarray}$ ersetzen mit dem Pythagoras umschrieben: $\begin{eqnarray} cos^2(2\alpha) + sin^2 (2\alpha) = 1 <=> cos (\alpha) = (\sqrt{1-sin (\alpha))} \end{eqnarray*}$ und dasselbe für cos (\alpha) machen. Aber ich komme trotzdem nicht weiter. Fünf Beiträge zusammengefasst. Steffen
09.02.2019, 14:31	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Ansatz ist viel zu kompliziert, da musst du dich ja jetzt nochmal um $\begin{eqnarray} \cos(2\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(2\alpha) \end{eqnarray}$ kümmern. Rechne lieber mit $\begin{eqnarray} \cos(3\alpha)+i\sin(3\alpha) = e^{3\alpha i} = \left(e^{i\alpha}\right)^3 = (\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))^3 \end{eqnarray}$ .
09.02.2019, 14:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen Bis auf einen Schreibfehler (eine fehlende 3 im Argument ganz zu Anfang) ist alles richtig. Jetzt gehe zum Imaginärteil über und verwende die Formeln für die Argumentverdoppelung: $\begin{align} \cos(2 \alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha \, , \ \ \sin(2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \end{align}$ Zum Schluß dann noch der trigonometrische Pythagoras. Ich denke aber, daß die Aufgabe anders gemeint ist. $\begin{align} \operatorname{e}^{3 \alpha \operatorname{i}} = \left( \operatorname{e}^{\alpha \operatorname{i}} \right)^3 \end{align}$ Jetzt auf beiden Seiten die Eulersche Relation anwenden. Dann mit dem binomischen Lehrsatz weitermachen: $\begin{align} (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{align}$ , und zum Imaginärteil übergehen.
09.02.2019, 15:01	JustMaths	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen ich bin soweit: cos^3(alpha) - 3 cos (alpha) sin^2 (alpha) + i * (3cos^2(alpha)sin(alpha)-sin^3(alpha) cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) = 1 cos^2 (alpha) = 1-sin^2 (alpha) cos^3 (alpha) - 3 cos (alpha) sin^2 (alpha) + i (3*(1-sin^2(alpha)) - sin^3 (alpha) So etwa? Aber der Imaginärteil ist nicht gleich dem in der Aufgabe gegebenen Imaginärteil...
09.02.2019, 15:08	JustMaths	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen Edit: Fehler gefunden. sin (alpha) hat in der Rechnung gefehlt. Es kommt am Ende das richtige Ergebnis raus. Danke für eure Hilfe!

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