Invertierbarkeit, Kommutativität

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09.02.2019, 13:00	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit, Kommutativität Hallo, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} A, B \in M_{nxn} (K) \end{eqnarray}$ quadratische Matrizen. Zeigen Sie: Ist die Matrix $\begin{eqnarray} (I_n - AB) \end{eqnarray}$ invertierbar, dann ist auch $\begin{eqnarray} (I_n - BA) \end{eqnarray}$ invertierbar und es gilt $\begin{eqnarray} (I_n - BA)^{-1} = I_n + B(I_n - AB)^{-1} A \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Es existiert also $\begin{eqnarray} (I_n - AB)^{-1} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} (I_n - AB) \cdot (I_n - AB)^{-1} = I_n \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich aber nicht weiter. Brauche ich ein "Rechengesetz", das es mir erlaubt den Exponenten -1 zu entfernen? Was ich noch weiß ist, dass $\begin{eqnarray} AB = BA \Leftrightarrow (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \end{eqnarray}$ gilt. Grüße yeees
09.02.2019, 13:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit, Kommutativität Berechne $\begin{eqnarray} ( I_n + B(I_n - AB)^{-1} A)(I_n - BA) \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray*}$ herauskommt, dann stimmt die Behauptung.
09.02.2019, 13:44	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Ich erkenne leider nicht den genauen Zusammenhang. Warum ist damit die Behauptung schon bewiesen. Ich sehe dass so, dass du die Gleichung aus der Aufgabe einfach auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray} (I_n + BA) \end{eqnarray}$ multipliziert hast. Ich habe es dennoch mal probiert $\begin{eqnarray} ( I_n + B(I_n - AB)^{-1} A)(I_n - BA) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Komme allerdings nicht weit. Soll ich das schon ganz normal ausmultiplizieren, also: $\begin{eqnarray} ( I_n + B(I_n - AB)^{-1} A)(I_n - BA) = I_n - BA + B(I_n - AB)^{-1}A + B(I_n - AB)^{-1}A \cdot (-BA) \end{eqnarray}$ Ist das bis hier richtig?
09.02.2019, 13:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Theorie ist einfach, wenn XY=I, dann sind X und Y zueinander invers. Das Minuszeichen nach vorne ersetzt das Pluszeichen, dann kannst du in den letzten 3 Summanden links +B und rechts A ausklammern. Und dann einmal scharf anschauen. (Wenn man Formeln scharf anschaut, erschrecken sie und lösen sich auf. )
09.02.2019, 16:01	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir erschreckt sich die Formel leider nicht Ich glaub ich stelle mich grad bisschen dumm. Ich habe bis jetzt: $\begin{eqnarray} & I_n + B(I_n - AB)^{-1}A) (I_n - BA) \\ &= I_n - BA + B(I_n - AB)^{-1}A - B(I_n - AB)^{-1}ABA \\ &= I_n + B \cdot (-A + (I_n - AB)^{-1}A - (I_n - AB)^{-1}ABA) \\ &= I_n + B \cdot (-I_n + (I_n - AB)^{-1} - (I_n - AB)^{-1}AB) \cdot A \\ &= I_n + B \cdot (I_n + (I_n - AB)^{-1} \cdot (I_n - AB)) \cdot A \\ &= I_n + B \cdot (2 \cdot I_n) \cdot A \end{eqnarray}$
09.02.2019, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Einer der beliebtesten Fehler der Mathematik ist der Vorzeichenfehler. Du hast es geschafft, beim Übergang von der drittletzten Zeile zur vorletzten Zeile ein Minuszeichen zu unterschlagen. Dadurch wird die 0 zur 2, und das ist gar nicht gut.
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09.02.2019, 20:02	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohje das ist peinlich Also: $\begin{eqnarray} & (I_n + B(I_n - AB)^{-1}A)) (I_n - BA) \\ &= I_n - BA + B(I_n - AB)^{-1}A - B(I_n - AB)^{-1}ABA \\ &= I_n + B \cdot (-A + (I_n - AB)^{-1}A - (I_n - AB)^{-1}ABA) \\ &= I_n + B \cdot (-I_n + (I_n - AB)^{-1} - (I_n - AB)^{-1}AB) \cdot A \\ &= I_n + B \cdot (-I_n + (I_n - AB)^{-1} \cdot (I_n - AB)) \cdot A \\ &= I_n + B \cdot (-I_n + I_n) \cdot A \\ &= I_n \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} (I_n + B(I_n - AB)^{-1}A)) (I_n - BA) = I_n \end{eqnarray}$ ist, kann ich nach Definition der Invertierbarkeit folgern, dass $\begin{eqnarray} I_n - BA \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Das heißt also ich habe beide Aufgaben in einem Zug gemacht?
10.02.2019, 09:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht peinlich, das hast du gut gemacht. Insbesondere der alles entscheidende Schritt von der viertletzten zur drittletzten Zeile ist deine ganz persönliche intellektuelle Leistung. Das hatte ich mit scharf anschauen gemeint. Ja, die Aufgabe ist völlig richtig und vollständig bearbeitet.
10.02.2019, 13:28	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank für deine Hilfe
10.02.2019, 14:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzung: Wie kommt man auf die Invertierbarkeit von I-BA? Von welchem Baum fällt diese Inverse? Für die Invertierbarkeit von I-BA reicht die Injektivität. Wendet man A auf (I-BA)x=0 an, bekommt man nach leichter Umformung (I-AB)Ax=0, also wegen der Invertierbarkeit von I-AB auch Ax=0. Das in die erste Gleichung eingesetzt liefert x=0. Um die Inverse zu finden, hilft mal wieder ein hemdsärmeliger Ansatz mit der Neumannschen Reihe $\begin{eqnarray} (I-BA)^{-1}=\sum_{j=0}^\infty(BA)^j=I+\sum_{j=1}^\infty B(AB)^{j-1}A=I+B(I-AB)^{-1}A \end{eqnarray}$ Wenn man diesen Kandidaten für eine Inverse schon gegeben hat, dann reicht natürlich Elvis' Methode des Nachrechnens vollkommen aus

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