Standardabweichung

11.02.2019, 15:47

matiti990

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte nur sichergehen, ob folgende Überlegung zu meinem Problem richtig ist. Aber zunächst mal das Problem:

Ich habe 10 Messungen durchgeführt, die jeweils eine Standardabweichung besitzen (wurden über eine Fit-Kurve ermittelt). Aus diesen 10 Messungen möchte ich einen Mittelwert inkl. Standardabweichung bilden. Wie kann ich nun die jeweiligen Standardabweichungen miteinbeziehen?

Meine Ideen:
Meine Idee war es, die Fehlerfortpflanzung zu benutzen.

$\begin{eqnarray*} \sigma_{ges}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+...+\sigma_{aus Mittelwert}^2} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bin ich nicht ganz zufrieden, weil ich nicht weiß, ob sigma aus dem Mittelwert mit addiert werden kann... und abgesehen davon, weiß ich nicht, ob ich die richtige Formel benutze ^^

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

Willkommen im Matheboard!
Ich hab die Korrekturen aus dem zweiten Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen

11.02.2019, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von matiti990
Ich habe 10 Messungen durchgeführt, die jeweils eine Standardabweichung besitzen (wurden über eine Fit-Kurve ermittelt). Aus diesen 10 Messungen möchte ich einen Mittelwert inkl. Standardabweichung bilden.

Ich versuch das erstmal modellmäßig zu verstehen, was du da tust. Ich würde es so auffassen: Du hast $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_k \end{eqnarray*}$ mit identischen Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , aber i.a. verschiedenen Standardabweichungen $\begin{eqnarray*} \sigma_k \end{eqnarray*}$ . Jetzt suchst du die Standardabweichung des Mittelwerts $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ , richtig? (Deine Messwerte sind dabei Realisierungen $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ dieser Zufallsgrößen).

Bei angenommener Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ kann man rechnen

$\begin{eqnarray*} V(\bar{X_n}) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \end{eqnarray*}$ ,

und die Wurzel daraus ist die Standardabweichung des Mittelwertschätzers. Allerdings ist der Mittelwert hier nicht die beste Idee, einen Schätzer für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ mit möglichst geringer Varianz aus den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorliegenden Werten zu basteln, das ist dir hoffentlich bewusst?

12.02.2019, 11:18

matiti990

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So wie du es verstanden hast, ist es absolut korrekt.

Aber, dass es keine gute Idee ist, war mir jetzt nicht klar. Ich will nämlich aufzeigen, dass die Werte reproduzierbar sind. Also das ist der eigentliche Hintergrund dabei.
Könntest du mir da Tips geben?

Vielen Dank schonmal!

12.02.2019, 11:28

HAL 9000

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Ich hab nicht gesagt "keine gute Idee" sondern "nicht die beste Idee". Augenzwinkern

Ein linearer Schätzer $\begin{eqnarray*} Y= \sum_{k=1}^n a_kX_k \end{eqnarray*}$ hat die Varianz $\begin{eqnarray*} V(Y) = \sum_{k=1}^n a_k^2\sigma_k^2 \end{eqnarray*}$ .

Unter der Nebenbedingung der Erwartungstreue, das bedeutet wegen $\begin{eqnarray*} E(Y)=\mu \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = 1 \end{eqnarray*}$ , wird diese Varianz genau dann minimal, wenn $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\sigma_k^2}\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sigma_k^2}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ gewählt wird, für diese Koeffizienten ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} V(Y) = \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sigma_k^2}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ ,

und für den Schätzer gilt auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} V(Y)\leq V(\bar{X_n}) \end{eqnarray*}$ . Je größer die "Ungleichgewichte" zwischen den $\begin{eqnarray*} \sigma_k \end{eqnarray*}$ sind, umso größer ist der Gewinn durch Verwendung dieser adaptierten Koeffienten. Augenzwinkern

(Stichwort BLUE = Best Linear Unbiased Estimator)

12.02.2019, 11:36

matiti990

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Haha, ja alles klar! Vielen Dank, ich lese mich da mal rein und rechne das aus. Eventuell melde ich mich die Tage nochmal ^^

nachtrag: mega gut geholfen!

12.02.2019, 11:37

Steffen Bühler

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Kurze Anmerkung:

Zitat:

Original von matiti990
Ich will nämlich aufzeigen, dass die Werte reproduzierbar sind.

Da das ein wenig nach Prozessfähigkeit riecht: sind denn die Toleranzen definiert? Dann musst Du ja nur noch die Indizes berechnen.

Viele Grüße
Steffen

12.02.2019, 11:39

matiti990

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Ne, ich habe einen Messstand aufgebaut und will beweisen, dass die Messungen vernünftig laufen und habe 10 Messungen direkt hintereinander gemessen. Will einfach zeigen, dass da vernachlässigbare Schwankungen vorliegen

12.02.2019, 17:02

matiti990

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} V(Y) = \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sigma_k^2}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ ,

und für den Schätzer gilt auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} V(Y)\leq V(\bar{X_n}) \end{eqnarray*}$ . Je größer die "Ungleichgewichte" zwischen den $\begin{eqnarray*} \sigma_k \end{eqnarray*}$ sind, umso größer ist der Gewinn durch Verwendung dieser adaptierten Koeffizienten

Also ich habe das nun ausgerechnet und bekomme für die zitierte Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 0,392<0,79 \end{eqnarray*}$

So wie ich das nun verstanden habe, ist der linke "Schätzer" effizienter als der andere. Also ist die Information, die ich aus $\begin{eqnarray*} V(Y) \end{eqnarray*}$ brauchbarer. Leider komme ich thematisch gar nicht aus der Ecke und kann mit dem Begriff Schätzer nur erahnen, was es heißen kann. Wenn du mir in anderen Worten wiedergeben könntest, wäre ich sehr dankbar.

Meine Frage wäre eigentlich nun, dass ich nicht ganz so verstanden habe, inwiefern die Information mir zeigt, dass meine Messung reproduzierbar ist. Soll es mir zeigen, dass die Streuung der Messung selbst klein ist im Vergleich zur Streuung bei der Bildung des Mittelwerts?
Ich lese nämlich immer irgendwas von $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ , aber das bezieht sich ja auf die Gaußverteilung. Könnte ich das ebenfalls verwenden, quasi als nächster Schritt, um zu zeigen, dass meine Werte in der Nähe der Erwartung liegen?
LG

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