Globale Existenz

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KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
Globale Existenz
Hallo,
es geht um folgende DGL: mit
Die Frage ist, wann eine Lösung in Abhängigkeit von k global exsistiert. Nach Trennung der Variablen gilt das lokal, wenn , also Wenn k negativ ist, muss zusätzlich sein.
Wie bekomme ich das dann aber global hin?
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Kann niemand helfen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatarinaMath1
Die Frage ist, wann eine Lösung in Abhängigkeit von k global exsistiert. Nach Trennung der Variablen gilt das lokal, wenn , also Wenn k negativ ist, muss zusätzlich sein.
Wie bekomme ich das dann aber global hin?

Da bisher niemand geantwortet hat, in aller Kürze ein paar Anmerkungen/Anregungen:

(1)
Zitat:

Dafür gibt es durchaus Lösungen, nämlich . Sie ergeben sich nur nicht aus dem üblichen Verfahren, die linke Seite der DGL durch den nur von abhängigen Faktor auf der rechten Seite der DGL zu dividieren, weil man halt nicht durch 0 dividieren darf. Diese Lösungen sind globale Lösungen in jedem Sinne.

(2) Der Begriff "globale Lösung" wird unterschiedlich gebraucht. Manchmal versteht man damit eine in existierende Lösung. Manchmal versteht man damit aber eine Lösung in einem Intervall mit , welche sich nicht über dieses Intervall hinaus fortsetzen lässt.

(3) Der Fall sollte gesondert betrachtet werden.

(4) Es ist oft hilfreich, spezielle Fälle zu betrachten, um auf allgemeine Antworten zu kommen. Betrachtet man z. B. den Fall , stellt man fest, dass sich seine Lösung nach rechts beliebig fortsetzen lässt, nach links aber nur bis etwa .

(5) Für eine allgemeine Betrachtung sollte man an den Begiff der Lipschitzstetigikeit und den Satz von Picard-Lindelöf in seinen diversen Varianten denken.


Warnung: Da ich im Moment anderweitig stark beschäftigt bin, bedeutet meine Antwort nicht, dass ich auch ergänzende Fragen beantworten werde. Vielleicht und hoffentlich findet sich dann ein anderer Helfer, der einspringt.
KatrinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Vielen Dank für deine Anregungensmile
1. D.h ich hätte sämtlichen konstante Lösungen unabhängig von k.

3. Für den Fall k=0 erhalte ich folgende Lösung:
Das hilft mir leider nicht weiter.

Ich bräuchte doch für den Satz von Picard-Lindelöff die Lipschitzbedingung im 2. Argument.
Eine hinreichende Bedignung wäre, f müsse stetig diffbar sein in y.
Das würde bedeuten: muss exisitieren. Das würde jedoch nur für nicht gehen. Ich frage mich, warum dann in deinem 4. Fall die Lösung nach links nicht exisitert.
Dann muss doch an meinem Lipschitz-Argument etwas falsch sein?
KatrinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Das würde bedeuten:
Das sollte dastehen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatrinaMath1
.3. Für den Fall k=0 erhalte ich folgende Lösung:
Das hilft mir leider nicht weiter.

Wieso nicht? Damit ist doch der Fall gelöst.

Zitat:
Das würde bedeuten: muss exisitieren. Das würde jedoch nur für nicht gehen. Ich frage mich, warum dann in deinem 4. Fall die Lösung nach links nicht exisitert.
Dann muss doch an meinem Lipschitz-Argument etwas falsch sein?

Die +1 im Nenner gehört in den Exponenten.

Mir scheint, du interpretierst den Satz von Picard-Lindelöf falsch. Er garantiert zu jedem Anfangspunkt nur ein maximales Lösungsintervall, in dem eine eindeutige Lösung durch diesen Anfangspunkt existiert, die nicht über dieses Intervall hinaus fortgesetzt werden kann. Er sagt nichts darüber aus, wie groß dieses Intervall ist. Auch wenn die Lipschitzstetigkeit überall gegeben ist, kann dieses Intervall einseitig oder beidseitig endlich begrenzt sein.

Wie ist denn nun die globale Existenz bei deiner Aufgabe gemeint?
 
 
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
In der Aufgabenstellung steht leider auch nicht ,ehr, aber wsl ist mit globaler Existenz der ganze Defininitionsbereich der DGL gemeint.

Aber kann man nicht damit argumentieren, dass die Lösungen jeweils immer zwischen zwei verschiedenen n für liegen müssen. Das würde für alle k gelten und solange Die Lösungen werden also durch konstante Lösungen beschränkt. Deshalb exsitieren sie für allen Zeiten aufgrund der Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite in diesem Fall.

Damit wäre dich nur noch der Nullpunkt das Problem.
Mir ist noch nicht klar, wo das k dann Probleme macht?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatarinaMath1
Aber kann man nicht damit argumentieren, dass die Lösungen jeweils immer zwischen zwei verschiedenen n für liegen müssen.

Das ist richtig.

Zitat:
Das würde für alle k gelten und solange Die Lösungen werden also durch konstante Lösungen beschränkt. Deshalb exsitieren sie für allen Zeiten aufgrund der Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite in diesem Fall.

Das erscheint zwar plausibel, ist aber kein Beweis. Nimmt man speziell das Intervall , so können auch hier bei einem Anfangspunkt in diesem Intervall die y-Werte der Lösung dieses Intervall nicht verlassen. Sie können sogar die Teilintervalle und nicht verlassen. Trotzdem sind bei die Lösungen dann nicht in beide Richtungen unbeschränkt fortsetzbar.
Der offensichtliche Unterschied zwischen diesen Intervall und den Intervallen mit anderem ist, dass in diesem Intervall nicht beschränkt ist, in den anderen Intervallen aber schon. Es gibt durchaus Sätze, die die unbeschränkte Fortsetzbarkeit garantieren. Damit bin ich aber nicht vertraut. Ich habe auch kein Buch, wo diese Thematik behandelt wird und ich nachforschen könnte. Picard-Lindelöf allein reicht jedenfalls nicht aus. Ich meine mich zu erinnern, mal gelesen zu haben, dass die lineare Beschränkheit von ausreichend sei. Das ist aber ohne jede Gewähr. Wenn es in der Aufgabe tatsächlich um die Existenz von auf fortsetzbaren Lösungen geht, dann solltet ihr entsprechende Sätze gehabt haben.
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Wie siehst du ein, dass y in dem einem Intervall beschränkt ist und im anderen nicht?


Ja das mit der linearen Beschränktheit stimmt, es muss für die rechte Seite gelten:
mit


Dann wäre doch

Das würde nur gelten wenn nicht gilt. Dann habe ich um den Nullpunkt das gleiche Problem smile

Hast du das so gemeint?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatarinaMath1
Wie siehst du ein, dass y in dem einem Intervall beschränkt ist und im anderen nicht?

Es geht nicht um , sondern um . Aber das ist vermutlich nur ein Schreibfehler.
Die Beschränkheit von ' für die Intervalle (Addition für beide Grenzen) mit ist doch offensichtlich. Der Cosinus ist eh beschränkt und weil in einem endlichen Intervall liegt, das die Null nicht enthält, ist in diesem Intervall beschränkt.
Für ist dagegen nicht beschränkt.

Zitat:
Ja das mit der linearen Beschränktheit stimmt, es muss für die rechte Seite gelten: mit

Also habt ihr solche Sätze gehabt. Da hättest du dir denken können, dass die eine Rolle für die Aufgabe spielen.

Zitat:
Dann wäre doch

Das würde nur gelten wenn nicht gilt. Dann habe ich um den Nullpunkt das gleiche Problem smile

Hast du das so gemeint?

Richtig.
Für obige Intervalle mit kannst du mit diesem Satz die Existenz von Lösungen im Intervall beweisen. Für gilt der Beweis nicht, weil in diesem Intervall nicht linear beschränkt ist. Es ist also möglich, dass hier das maximale Existenzintervall der Lösung kleiner als ist. Zwingend ist das nicht. Hattet ihr auch einen Satz, der die ein- oder zweiseitige Beschränkheit des maximalen Existenzintervalls garantiert?
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von Huggy


liegt, das die Null nicht enthält, ist in diesem Intervall beschränkt.
Für ist dagegen nicht beschränkt.


Du meinst, da man in diesem Intervall an die 0 kommt und

Zitat:
Original von Huggy
Also habt ihr solche Sätze gehabt. Da hättest du dir denken können, dass die eine Rolle für die Aufgabe spielen.


Tut mir leid. Ich habe nicht gedacht, dass es darauf hinausläuft.
Wir haben noch einen Satz, der die Fortsetzung nach rechts global garantiert.
Dafür muss die lokale lipschitz-Bedingung gelten und . Aber das bringt ja nichts, weil f um 0 nicht lokal lipschitz ist.


Kann nicht vielleicht ein Vergleichsproblem betrachten.

in rechten Intervall um die 0.

Das würde gehen für

Und für den linken Teil analog. Wir haben sowas noch nie gemacht. ich bin nicht sicher, ob man ads überhaupt so machen darf.
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Ich meine
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Halten wir zunächst mal fest, wenn beschränkt ist, dann ist erst recht linear beschränkt.

Sei nun . Dann ist die gesamte Lösung . Dann ist für beschränkt. Daher ist in diesem Fall das maximale Existenzintervall .

Sei nun . In gilt . Also ist die Lösung eine streng monoton steigenden Funktion. Also ist für . In diesem Intervall ist aber wieder beschränkt. Daher ist das maximale Existenzintervall nach rechts unbeschränkt.

Den Fall kann man analog betrachten. Man muss nur für die Richtung, in der das maximale Existenzintervall unbegrenzt ist, zwischen geradem und ungeradem k unterscheiden, weil das das Vorzeichen von ändert.
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von Huggy

Sei nun . Dann ist die gesamte Lösung . Dann ist für beschränkt. Daher ist in diesem Fall das maximale Existenzintervall .



Was meinst du genau mit ?
Beziehst du dich auf das Vergleichsproblem?
Denn damit verstehe ich den Reste leider auch nicht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatarinaMath1
Was meinst du genau mit ?

Damit meine ich das durch die DGL definierte , also

KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Dann verstehe ich die Beschränktheit. Man hat sowas wie:

Wie folgerst du:

Zitat:
Original von Huggy
1. Dann ist die gesamte Lösung .


2. Also ist für .





1. Weil in diesem Intervall die rechte Seite einfach lipschitz ist und damit die Lösung lokal eindeutig ist.
2. Warum ist linke Intervallgrenze
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Zitat:
Original von KatarinaMath1
1. Weil in diesem Intervall die rechte Seite einfach lipschitz ist und damit die Lösung lokal eindeutig ist.

Daraus folgt, dass die Lösung die obere Intervallgrenze nicht erreichen kann. Für kann die untere Intervallgrenze 0 nicht erreicht werden, weil ja da divergiert. Bei ergibt es sich daraus, dass dann gegen Null geht, wenn gegen Null geht. Das wird aber bei nicht wirklich benötigt. Hier reicht schon aus, dass dann wegen der Eindeutigkeit der Lösung das Intervall nicht verlassen kann.

Zitat:
2. Warum ist linke Intervallgrenze

Ja mei, wenn ist und streng monoton steigen ist, kann für doch nur sein.
KatarinaMath1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globale Existenz
Danke Huggy, dass du solange mit mir dabei geblieben bist.
Tausend Dank für deine Hilfe. Ich wünsche dir noch einen schönen Tagsmile Freude Freude
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