Eulersche-Phi-Funktion für nicht teilerfremde Zahlen

13.02.2019, 00:53	Drose	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche-Phi-Funktion für nicht teilerfremde Zahlen Meine Frage: Hallo alle miteinander, Ich sitze bei einer Aufgabe fest und komme nicht mehr weiter. Es geht um die allgemeine Eulersche-Phi-Funktion. $\begin{eqnarray} \phi(nm)= (\phi(m)\phi(n)g):\phi(g) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g=ggt(m,n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} g>=1 \end{eqnarray}$ In der Übung steht als Hinweis: Führen Sie einen Beweis per Induktion über die Anzahl der gemeinsamen Primteiler von m und n. Meine Ideen: Ich hab das mal folgendermaßen versucht: Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ besitzen keine gemeinsamen Primteiler also ist der $\begin{eqnarray} ggt(m,n)=1 \end{eqnarray}$ und die Formel gilt Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ besitzen gemeinsame Primteiler, also ist der $\begin{eqnarray} ggt(m,n)>1=g \end{eqnarray}$ Es gibt ein $\begin{eqnarray} e,f,k,l \in Z \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} m=(p^e)k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=(p^f)l \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \phi(mn) = \phi(p^ekp^fl) = \phi(p^{e+f})\phi(kl) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (IV) \phi(p^{e+f}) [(\phi(k)\phi(l)g):\phi(g)] = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (p^{e+f-1}(p-1)) [(\phi(k)\phi(l)g):\phi(g)] = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (((p^e p^f):p)(p-1)[(\phi(k)\phi(l)g):\phi(g)]=.... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [(\phi(k)\phi(l)g):\phi(g)] \end{eqnarray}$ (soll am ende rauskommen) Meine Tutorin erwähnte dass man mit $\begin{eqnarray} \phi(g)/\phi(g) \end{eqnarray}$ erweitern soll und dann würde sich alles rauskürzen etc. aber ich schaff das nicht. Könnte mir jemand bitte zeigen wie es richtig ist? PS: Ist keine Hausaufgabe o.ä. sondern für die Prüfungsvorbereitung. Vielen Dank und schönen Abend Willkommen im Matheboard! Ich hab ein paar LaTeX-Tags ergänzt. Viele Grüße Steffen
13.02.2019, 09:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn schon Crossposting, dann bitte erwähnen: https://www.onlinemathe.de/forum/Eulersc...rfremden-Zahlen

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