Auftrittswahrscheinlichkeit eines Regenereignisses berechnen

20.02.2019, 15:02

beardgod

Auftrittswahrscheinlichkeit eines Regenereignisses berechnen

Hallo liebes Matheboard,
ich habe gerade einige Schwierigkeiten mit zwei Aufgaben im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich selber habe vermutlich gerade einfach eine Blockade, da ich mit diesen einfachen Aufgaben überfordert bin. Hier mal die folgende Aufgabe:

AUFGABE a)

Für eine Messstation wird eine massgebliche Regenspende von $\begin{eqnarray*} r_{25,5} = 200\frac{l}{s*ha} \end{eqnarray*}$ festgelegt. Im Jahre 2010 wurde ein derartiges Regenereignis gemessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt ein soches Ereignis im Jahre 2015 auf?

Die Möglichen Antwortmöglichkeiten sind:

$\begin{eqnarray*} a) Wahrscheinlichkeit = 30% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) Wahrscheinlichkeit = 100% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) Wahrscheinlichkeit = 20% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d) Wahrscheinlichkeit = 10% \end{eqnarray*}$

Die AUFGABE b) behandelt die identische Aufgabe, jedoch ist die Fragestellung, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein solches Ereignis im Jahre 2015 NICHT auftretet.

Mein Lösungsvorschlag (für AUFGABE a)):

Die massgeblich Regenspende $\begin{eqnarray*} r_{D,n} \end{eqnarray*}$ ist so definiert, dass D die Dauer des Regenabschnittes ist und n das Wiederkehrintervall in Jahren definiert.

Hieraus ergibt sich die Jährlichkeit des Ereignisses aus der obigen Fragenstellung mit 5 Jahren. Das heisst ich kann mir die Auftrittswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P = \frac{1}{n} = 0,2 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wenn jetzt das Regenereignis 2010 stattgefunden hat, so ist für jedes Jahr die Autrittswahrscheinlichkeit 20%. Folgt dann daraus, dass im Jahr 2015 dieses Ereignis zu 100% autreten wird, wenn ich 0,2 * 5 Jahre mache? Ich bin mir aber damit nicht sicher, ob dies stimmt. Auch habe ich bereits im Internet nach meiner Fragestellung gesucht und nicht direkt etwas gefunden, da in den meisten Quellen die Auftrittswahrscheinlichkeit innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls berechnet wird, wobei ich die Auftrittswahrscheinlichkeit für dieses spezifische Jahr suche.

Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir ein paar Tipps dazu geben könntet, bzw. ob ich mit meinen Überlegungen richtig liege.

LG, beardgod. Wink

20.02.2019, 15:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von beardgod
Die massgeblich Regenspende $\begin{eqnarray*} r_{D,n} \end{eqnarray*}$ ist so definiert, dass D die Dauer des Regenabschnittes ist und n das Wiederkehrintervall in Jahren definiert.

Wiederkehrintervall??? Seit wann lässt sich Wetter so genau planen, dass in 5 Jahren das nächste solche Ereignis stattfindet? Macht für mich keinen Sinn.

Plausibel wäre m.E., wenn man die Anzahl solcher anscheinend seltenen Wettereignisse (welche auch immer das sind) pro Zeitintervall als poissonverteilte Zufallsgröße ansieht. Womöglich ist Parameter $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang zu sehen, das wäre für mich einigermaßen plausibel.

20.02.2019, 15:47

beardgod

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Unnötiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Hallo @HAL 9000
vielen Dank für deine Nachricht.

Ich zitiere nach DIN 1986-100 und OSTRA-DWD 2000 (Koordinierte Starkniederschlags-Regionalisierungs-Auswertungen des Deutschen Wetterdienstes)

"Die Bemessungsregenspende (auch Regenspende genannt) ist eine Kenngröße zur Berechnung von anfallenden Regenwassermengen und für die Bemessung von Regenentwässerungsanlagen, Notentwässerungen sowie zur Erstellung von Überlastungs- und Überflutungsnachweisen."

Grundsätzlich sie die massgebblichen Regenspenden Werte, die sich über jahrelangen Messungen des Gebietsniederschlages herausgebildet haben. Beispielsweise kann die massgebliche Regenspende über der Gleichung nach Reinhold

$\begin{eqnarray*} r_{D,n} = \frac{38}{T+9} * (\frac{1}{\sqrt[4]{n} } -0.369)*r_{15,1} \end{eqnarray*}$

berechnet werden, wobei diese mittlerweile veraltet ist. Genauere Ergebnisse liefern Messstationen, die den Gebietsniederschlag jährlich messen.

Aber konzentrieren wir uns wiedr auf die Fragestellung. Hier ist die massgebliche Regenspende mit $\begin{eqnarray*} r_{25,5} = 200\frac{l}{s*ha} \end{eqnarray*}$ definiert. Des Weiteren ist meine jährliche Wahrscheinlichkeit dass dieses Ereignis auftretet gleich 20% (weil P = 1/5) , so ist dies auch im Gesetzestext definiert.

Besser gesagt würde es heissen (zitiert wiederum nach DIN 1986-100): "Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 pro Jahr wird ein Niederschlag über die Dauer von 25min auftreten, mit einer Intensität von 200l/s/ha."

Wären dann meine Überlegungen im ursprünglichen Beitrag korrekt, dass 2015 dieses Ereigniss zu 100% aufreten wird?

20.02.2019, 16:51

hgseib

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off topik

Zitat:

Original von beardgod. . wobei diese mittlerweile veraltet ist. Genauere Ergebnisse liefern Messstationen, ..

a) das hilft @beardgod nicht weiter, weis ich. muss aber gesagt werden!
diese werte sind nicht veraltet, sie unterliegen einem ständigem wandel. und durch öfteres messen wird garnichts genauer. es wird nur öfters korrigiert. d.h. man weis, das sich die werte ständig verändern, man glaubt aber nach wie vor, man könne die veränderung vorhersagen. das word 'glauben' wurde nicht zufällig gewählt.
eins der grössten probleme von solchen und ähnlichen berechnungen ist, das immer wieder vollkommen ungeeignete werte zur verrechnung verwendet werden. natürlich ist dann auch das 'ergebnis' unsinnig.
mal ehrlich, angesichts der klimaentwicklung die aktuell jeder live miterleben kann, glaubst da irgendjemand echt, das man heute die Regenspende (die kommentare zu dieser wortkreation spar ich mir mal :-) in ein paar jahren berechnen kann? noch nicht einmal annähernd!

b) schulweisheiten
man kann diese aufgabe als theoretischen ansatz definieren um somit solche auswertungen grundsätzlich zu lernen.
wohlwissend, das in diesem fall ein so ermitteltes 'richtiges ergebnis' absolut nichts mit der realität zu tun hat.
damit kann @beardgod seine aufgabe lösen und seinen lehrer/-in glücklich machen.

c) leidtragender
die bauchschmerzen, die ich dabei habe sind: das die leute das als realität hinnehmen. auch die zitierten DIN-Normen sind von solchen leuten erstellt worden. die 'lüge' wird also durch eine 'lüge' als wahr dargestellt. die zeit wird die wahrheit zeigen. aber bis dahin werden auf grund solcher pseudoannahmen gesetze erlassen, DIN-s verfasst, urteile gefällt usw. da muss man sich ganz einfach rechtzeitig dagegen wehren. sorry.

ich hoffe, jemand der es kann hilft jetzt @beardgod, ohne weitere berücksichtigung auf sinnhaftigkeit ;-)

20.02.2019, 17:19

beardgod

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RE: off topik
Unnötiges Vollzitat gelöscht. Steffen

ok @hgseib Lehrer

ich bin mit einigen deiner Aussagen nicht ganz einer Meinung:

1) Da wir uns auf ein Mathematik-Forum befinden, wissen wir, dass die Mathematik ein Hilfsmittel von uns Menschen ist, Dinge, Phänomene usw. zu beschreiben, bzw. mithilfe von stochastischen Berechnungen Vorhersagen zu machen. Die Gleichung nach Reinhold, und die daraus resultierenden Werte für die massgebenden Regenspenden sind veraltet, da sie keine realistischen Werte mehr liefern. Das ist FAKT, wobei zur damaligen Zeit Reinholds diese Werte realistisch waren. Daraus resultiert, dass wir heute mathematische Methoden verwenden, um die Messwerte von Niederschlagsmessstationen auszuwerten um realistische Annahmen für Berechnungen/Vorhersagen von Kanalnetzen, Hochbehälter aber auch Kläranlagen u.a. zu erhalten. Natürlich sind diese Werte nicht genau, das ist klar, aber wir sind darauf angewiesen, da sie relativ genau für die aktuelle Zeit mit der Realität übereinstimmen. Warum immer alles so negativ anzweifeln?

2) DIN-Werke sind Normenwerke, welche tatsächlich mit der Zeit aktualisiert werden. Ohne diese DIN-Werke würde es heute keine so ausgereifte Infrastruktur geben, wie du sie kennst. Wenn ich du wäre, würde ich das Wort Lüge, nochmal überdenken, da es meiner Meinung nicht passt. Warum dagegen wehren? Deine Verschwörungstheorien bitte mal zu Hause unter deinem Bett lassen Wink

................................................

Ich würde mich sehr wünschen, wenn mir jemand mit meiner Fragestellung weiterhelfen könnte. Vielen Dank! smile

20.02.2019, 17:46

Dopap

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$\begin{eqnarray*} r_{D,n} = \frac{38}{T+9} * (\frac{1}{\sqrt[4]{n} } -0.369)*r_{15,1} \end{eqnarray*}$

das ist eine meiner beliebten zugeschnittene Größengleichungen bei denen man Einheiten vorher kennen muss.
T in min und n in Jahren ? oder wie?
und das Ergebnis ist in Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 1\rm \frac{l}{s*ha}= 0.36~\rm \frac {mm}{h} \end{eqnarray*}$ anzugeben ?
Und wie kommt man auf p ?

20.02.2019, 17:55

beardgod

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Unnötiges Vollzitat gelöscht. Steffen

T = Regenabschnittdauer in Min,
n = Frequenz des Regens (n = 1/Jahre also 1/a),
r15(1) = mittlere Intensität, die einmal pro Jahr während 15 Min. überschritten wird lt. Reinhold => r15(1) = 102 l/s/ha

P ist die Auftrittswahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses, welche in der Formel nach Reinhold mit n bezeichnet wird. also P = n = 1/a

20.02.2019, 22:43

Dopap

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nach Poisson ist $\begin{eqnarray*} Poi(\lambda,k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}= \frac{5^5}{5!}e^{-5}=0.30086 \end{eqnarray*}$ und die Antwort a.) mit 30% wäre demnach richtig.

hier mal ein paar Wahrscheinlichkeiten der Poisson Verteilung, Rot=1 Grün=5 Blau=9 für $\begin{eqnarray*} \lambda=1/p \end{eqnarray*}$ die Bildhöhe ist ca. 0.4

[attach]48944[/attach]

21.02.2019, 11:20

beardgod

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Vielen Dank @Dopap,
deine Antwort war jetzt wirklich hilfreich.
Was genau definiert bei deiner Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ?

Bei Aufgabe b) is dann die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass das Ereignis im Jahr 2015 NICHT auftritt. Is es dann einfach die Gegenwahrscheinlichkeit? $\begin{eqnarray*} P = 1-0,30 = 0.70 \end{eqnarray*}$ ?

MFG,
beardgod.

21.02.2019, 13:09

beardgod

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@Dopap, kurz zu deiner Lösung. Wenn ich deine Gleichung so in meinem Taschenrechner eingebe, dann komme ich nicht auf 0,30, sondern auf 0,17. Kann es sein, dass du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ falsch angeschriben hast?

Eine weitere Frage. Wenn ich deine Gleichung so interpretiere, dann hast du die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Regenereigniss einmal innerhalb diese 5 Jahre auftretet, wenn ich mich nicht irre. Aber müsste ich die Gleichung nicht anders anschreiben, da ich die Wahrscheinlichkeit suche, dass genau 2015 ein Ereignis auftretet...

21.02.2019, 13:38

Dopap

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ein zeitliches Ereignis tritt mit einer durchschnittlichen Anzahl in einem bestimmten Zeitraum auf.
z.B. durchschnittlich 3 Waldbrände(Starkregen)/Jahr = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und die Ereigniswahrscheinlichkeit ist somit $\begin{eqnarray*} p=\frac 1\lambda \end{eqnarray*}$

Die Zufallsgröße sei B=Anzahl k =0,1,2,3... der Waldbrände im nächsten Jahr. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} P(B=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

P(B=0)=5%
P(B=1)=14.9%
P(B=2)=22.4%
P(B=4)=16.8%
P(B=5)=10.1%
P(B>5)=30.8%

$\begin{eqnarray*} P(B\neq k)=P(B<k)+P(B>k) \end{eqnarray*}$ oder schlicht $\begin{eqnarray*} 1-P(B=k) \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------

kann sein dass ich was falsch eingegeben habe aber bei deine Aufgabe ist etwas unverständlich.
Welche Rate hat jetzt der Starkregen? Einmal in 5 Jahren ? oder was?

21.02.2019, 14:04

beardgod

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ja genau, also alle 5 Jahre wir dieses massgebliche Ereignis gemessen.

Die Aufgabe nochmal ist die folgende:

2010 wurde dieses Regenereignis mit der Regenspende 200L/s/ha gemessen. Nun ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass genau im Jahre 2015 diese Ereignis wieder auftretet. Die Voraussetzung ist, dass in den Jahren dazwischen (2011, 2012, 2013, 2014) kein solches Ereignis auftretet....wie würdest du da vorgehen?

LG, beardgod.

21.02.2019, 14:27

Dopap

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dass vor 5 Jahren das gesagte Ereignis aufgetreten ist, lässt keine Rückschlüsse auf die relative Häufigkeit zu.
Du könntest natürlich spekulieren und sagen dass p=0.2 ist.

Dann hat das Ereignis Starkregen genau erst im 5. Jahr die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} Geo(0.20,5)=0.8^4\cdot 0.2=8.2\% \end{eqnarray*}$

Am besten ist es, du fragst die Fragesteller, was denn nun Fakt ist.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind versteckte implizite Annahmen nicht gern gesehen.

21.02.2019, 14:33

beardgod

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Vielen Dank @Dopap, Freude

so habe ich es auch schon einmal überlegt. Da die Fragestellung wirklich nicht aussagekräftig formuliert ist, werde ich in den kommenden Tage meinen Professor darauf ansprechen. Weitere Details dazu werde ich dann hier posten.

LG, beardgod. Freude

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