Koordinatentransformationen verstehen

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20.02.2019, 18:00	gegendenkapitalismus	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformationen verstehen Hey, ich habe ein Vektorfeld in kartesischen Koordinaten gegeben z.B. F(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x) Worin besteht jetzt der Unterschied das oben genannte in Zylinderkoordinatendarzustellen? Es gibt da zwisch unterschiedliche transformationen, wobei ich nicht den Unterschied kenne. Transformationsart 1) x=r cos phi y=r sin phi z=z Das einsetzen in F(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x) ergibt eine Funktion von (r,phi,z) - Zylinderkoordinaten Transformationsart 2) Die Komponenten des Vektorfeldes in Zylinderdarstellung ergibt sich mit F=(Ar,Aphi,Az) via den Kompoennten des Feldes in Kartesischenkoordinaten F=(Ax,Ay,Az) Ar=Ax cos+Ay sin Aphi=-Ax sinphi + Ay cos phi Az= Az Am ende muss man noch die Beziehung x=r cos phi y=r sin phi z=z nutzen und einsetzen für alle x,y,z. Worin besteht nun der unterschied meines Vektorfeldes. In beiden Vektorfeldern sind die Komponenten in Ar,Aphi,Az dargestellt aber die Transformation dahin erfolgt anders ... Also ich muss hinzufügen das mir schon klar ist wie man einen Punkt in Zylinderkoordinaten darstellt über x=r cos phi y=r sin phi z=z aber trotzdem weiss ich nicht den unterschied, bei oben genannten endvektorfeldern, da beide in der Form F=(Ar,Aphi,Az) vorliegen ... ahhhh, kann es sein das die eine Transformationsvorschrift nur für Skalarfelder gilt und die andere nur für Vektorfelder ? Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen
20.02.2019, 20:19	hgseib	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformationen verstehen hallo ich bin mir nicht sicher, ob ich dein problem verstehe. mein erklärungsversuch: kartesisch: berücksichtigt, das es drei dimensionen gibt: vorwärts-rückwärts, links-rechts, nach oben und unten. und das jeweils gerade aus (liniear). Zylinderkoordinaten: z.b. ein baukran. der kann gewichte nach oben und unten bewegen (wie im kartesischen system) aber der arm der krans wird gedreht, da ist ein winkel geeigneter und entlang des gedrehten auslegers kann das gewicht nach aussen-innen bewegt werden. also ein radius. hier ist es einfach besser mit z-w-r anstatt mit x-y-z zu rechnen. Kugelkoordinaten: flugzeuge bewegen sich (fasst) auf einer kugeloberfläche. hoch-runter geht von einer mitte aus, also ein radius. die beiden anderen richtungen erfasst man am besten durch winkel. also man verwendet immer das am besten angepasste system. dennoch muss/will man manchmal die systeme wechseln. die formeln dazu sind dir ja bekannt. hilfst das weiter?
20.02.2019, 21:01	gegendenkapitalismus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es geht aber um Vektorfelder. Und hier gelange ich bei gegebenen Vektorfeld über zwei verschiedene Transformationen zu einem Vektorfeld in Zylinderkoordinatendarstellung. Nun meine Frage, worin denn eigentlich die Unterschiede bestehen. Mir ist klar das eines einfach nur das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten ausdrückt, aber was soll das andere sein ? Also es geht um Transformationsart 2. Transformationsart 1) x=r cos phi y=r sin phi z=z Das einsetzen in F(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x) ergibt eine Funktion von (r,phi,z) - Zylinderkoordinaten Transformationsart 2) Die Komponenten des Vektorfeldes in Zylinderdarstellung ergibt sich mit F=(Ar,Aphi,Az) via den Kompoennten des Feldes in Kartesischenkoordinaten F=(Ax,Ay,Az) Ar=Ax cos+Ay sin Aphi=-Ax sinphi + Ay cos phi Az= Az Am ende muss man noch die Beziehung x=r cos phi y=r sin phi z=z
20.02.2019, 21:34	hgseib	Auf diesen Beitrag antworten »
2 winkel == kugel koordinaten beantwortet das deine frage? es gibt 6 umrechnungsmöglichkeiten. kartesisch => zylinder x = r cos(b) y = r sin(b) z = z kartesisch => kugel x = r sin(a) cos(b) y = r sin(a) sin(b) z = r cos(a) zylinder => kartesisch r = sqrt(x^2 + y^2) b = arctan(y/x) z = z zylinder => kugel r = r sin(a) b = b z = r cos(a) kugel => kartesisch r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) b = arctan(y/x) a = arctan( sqrt(x^2 + y^2) / z ) kugel => zylinder r = sqrt(r^2 + z^2) b = b a = arctan(r/z) nur der vollständigkeit wegen: * bei manchen computerprogrammen sind die achsen und/oder die richtung vertauscht. ** rotationen werden mit quaternion berechnet
20.02.2019, 21:51	EinSturmZiehtAuf	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm Ich lade mal die Formelsammlung hoch damit du verstehst was ich meine. Das was du meinst ist mir bewusst. Es wird ja nur einfach der Ortsvektor über andere Koordinatensystemen beschrieben (x,y,z), (r,phi,z), (r,phi,theta) Gegeben sei ein Vektorfeld z.b. V=(x+y,z+y,x,+y+z) Was ist der Unterschied wenn ich direkt (x,y,z)=(rcosphi,rsinphi,z) ansetze und einmal erst das rotumrandete aus der Formelsammlung nutze und DANACH (x,y,z)=(rcosphi,rsinphi,z) anwende.
20.02.2019, 21:58	hgseib	Auf diesen Beitrag antworten »
alternativ internetsuche: Vektorfeld in Zylinderkoordinaten Darstellung uni-stuttgart bietet da ein ausführliches dokument an. Folien_Vektorfelder_in_Zylinderkoordinaten.pdf (edit: das und dein post ist zeitgleich entstanden. ich sehe mir deinen anhang an.)
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20.02.2019, 22:34	hgseib	Auf diesen Beitrag antworten »
was soll zwischen dem 'daten erfassen' und dem 'danach' passieren? grafische darstellung, eventuell animiert oder ableitung berechnen? die umrechnerei muss ja irgend einen sinn haben. - kartesische daten - umwandeln in zylindrig, weil man ... ? - dann ein ergebnis zu kartesisch zurück, weil .. ? sorry, das erste post sah aus, wie von einem einsteiger geschrieben .. mein fehler ;-)
20.02.2019, 22:47	EinSturmZiehtAuf	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht allgemein um die Elektromagnetische Feldtheorie. Ich habe eine neue Idee: Beispiel Vektorfeld F(x,y,z)=(x+y,y+z,2z) Direkte Trafo in Zylinderkoordinaten mit (x,y,z)=(rcosphi,rsinphi,z) einsetzen. Wenn ich jetzt einen Wert r,phi und z einsetze kann es sein das gilt Vektorfeld F=(Fx,Fy,Fz) ? Bei der indirekten Trafo wo ich dann die Trafo aus der Formelsammlung (rotmarkiert) erst nutze und DANACH (x,y,z)=(rcosphi,rsinphi,z) einsetze und r,phi, z beliebig wähle es folgendes gilt: Vektorfeld F=(Fr,Fphi,Fz) ? /Edit: Ich habe keine ahnung ... worin der Unterschied besteht.
21.02.2019, 15:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man Umrechnungen eines Vektorfeldes von einem Koordinatensystem in ein anderes betrachten will, muss man erst einmal verstehen, was mit der Darstellung eines Vektorfeldes in einem Koordinatensystem gemeint ist. Ich beschränke mich mal auf orthogonale Koordinatensysteme. Man habe ein orthogonales Koordinatensystem mit Koordinaten $\begin{eqnarray} (u,v,w) \end{eqnarray}$ . Zu jedem Punkt P gehört dann in diesem Koordinatensystem ein Satz von zueinander orthogonalen Basisvektoren $\begin{eqnarray} (\vec e_u, \vec e_v, \vec e_w) \end{eqnarray}$ . Diese Basisvektoren des Koordinatensystems sind per Definition Einheitsvektoren. Allgemein müssen Basisvektoren eines Vektorraums keine Einheitsvektoren sein. Ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ hat dann in diesem Koordinatensystem die Darstellung $\begin{eqnarray} \vec F =\vec F(u,v,w)=F_u \vec e_u+F_v \vec v +F_w \vec e_w=F_u(u,v,w) \vec e_u+F_v(u,v,w) \vec v +F_w(u,v,w) \vec e_w \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld wird also als Linearkombination der Basisvektoren des betrachten Koordinatensystems dargestellt und die Koeffizienten der Linearkombination werden als Funktionen der Koordinaten des betrachteten Koordinatensystems dargestellt. Basis für Umrechnungen ist immer ein kartesisches Koordinatensystem mit den kanonischen Koordinatenbezeichnungen $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ und den zugehörigen Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z \end{eqnarray}$ . Dein zu Anfang genanntes Vektorfeld hat also in kartesischen Koordinaten die Darstellung $\begin{eqnarray} \vec F=F_x \vec e_x+F_y \vec e_y+F_z \vec e_z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F_x=x+y \quad F_y=y+z \quad F_z=z+x \end{eqnarray}$ Um nun dieses Vektorfeld in ein anderes Koordinatensystem, z. B. Zylinderkoordinaten mit den kanonischen Bezeichnungen $\begin{eqnarray} (\rho, \varphi, z) \end{eqnarray}$ umzurechnen, sind drei Aktionen erforderlich: (1) In den Koeffizientenfunktionen $\begin{eqnarray} F_x, F_y, F_z \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} \rho, \varphi, z \end{eqnarray}$ auszudrücken. (2) Die Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z \end{eqnarray}$ sind als Linearkombinationen der Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec e_\rho, \vec e_\varphi, \vec e_z \end{eqnarray}$ darzustellen. (3) Das Ergebnis ist in die Form $\begin{eqnarray} \vec F=F_\rho \vec e_\rho+F_\varphi \vec e_\varphi + F_z \vec e_z \end{eqnarray}$ zu sortieren. Da es umständlich ist, diese drei Schritte nacheinander durchzuführen, findet man in Formelsammlungen oft gleich das Ergebnis $\begin{eqnarray} F_\rho =f(F_x,F_y,F_z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_\varphi =g(F_x,F_y,F_z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_z =h(F_x,F_y,F_z) \end{eqnarray}$ angegeben.

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