Liouvilles Approximationssatz; Wie lautet er richtig? // Satz von Liouville

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Äpölamus Auf diesen Beitrag antworten »
Liouvilles Approximationssatz; Wie lautet er richtig? // Satz von Liouville
Meine Frage:
Guten Tag,
mir liegen zwei Formen des Approximationssatzes von Liouville vor. Aus Suchen im Internet werde ich auch nicht wirklich schlauer, da der Satz dort stets in etwas variiender Form vorliegt. Ich würde nun gerne wissen, wie er denn richtig lautet, also welche der im folgenden genannten "Versionen" richtig ist? Vlt sind es ja auch beide?


Sei x eine algebraische Zahl des Grades n > 1.

1. Version:
Für alle Approximationen p/q IQ gilt: |x - p/q| > 1/(q^n).

2. Version:
Für Alle Approximationen p/q IQ gilt: |x - p/q| > 1/(q^(n+1)).


Natürlich würde erstere letztere implizieren, aber ist erstere überhaupt richtig?

Meine Ideen:
Im Internet finde ich meist nur die "klassische" Formulierung mit der Konstanten C und der größer-GLEICH Relation.

Ich benötige aber eine Aussage formuliert mit einer größer-Relation und da finde ich leider nicht mehr so viel. Und bei dem, was ich gefunden habe, finden sich manche Versionen mit n > 2 bzw n >= 3, manche mit n im Exponenten, manche mit n+1 im Exponenten.

Also leider wurde ich nicht viel schlauer daraus und konsultiere deshalb mal die Experten.


Welche der zwei von mir genannten Varianten ist nun korrekt?


Dankeschön !


Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
Äpölamus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Liouvilles Approximationssatz; Wie lautet er richtig? // Satz von Liouville
Habe nochmal ein wenig gesucht, aber erstmal nichts gefunden.

Folgendes steht auf wolfram:

"For any algebraic number x of degree n>2, a rational approximation p/q to x must satisfy

|x-p/q|>1/(q^n)

for sufficiently large q."


Mein Englisch hapert hier leider. Bedeut dies, dass es eine approximation p/q gibt, die dies erfüllt, oder, dass jede Approximation p/q dies erfüllt.

Außerdem: Was soll für groß genuges q bedeuten? Dass es ein q existieren muss, aber es nicht für jedes gilt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Liouvilles Approximationssatz; Wie lautet er richtig? // Satz von Liouville
Auch wenn ich von dieser Materie keine Ahnung habe, ist doch folgendes klar:

Zitat:
Original von Äpölamus
Mein Englisch hapert hier leider. Bedeut dies, dass es eine approximation p/q gibt, die dies erfüllt,

Die gibt es sicher und das ist trivial. Das ist aber nicht der Inhalt des obigen Satzes.

Zitat:
oder, dass jede Approximation p/q dies erfüllt.

Ganz gewiss nicht! Dann bräuchte man nicht die Formulierung "für genügend großes q".

Zitat:
Außerdem: Was soll für groß genuges q bedeuten? Dass es ein q existieren muss, aber es nicht für jedes gilt?

Das bedeutet, es gibt ein derart, dass die Aussage für alle zutrifft.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Äpölamus
Was soll für groß genuges q bedeuten? Dass es ein q existieren muss, aber es nicht für jedes gilt?

Es bedeutet, dass es ein gibt, so dass für alle mit gilt.

Mit anderen Worten bedeutet dies hier, dass es allenfalls endlich viele Ausnahmen gibt, d.h., mit .


Sinn macht das ganze erst für , denn im Fall gibt es für jedes ein passendes mit , nämlich .
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