Zweite Fundamentalmatrix

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Zweite Fundamentalmatrix
Hallo alle zusammen.

Wer von euch kann rauslesen was |A|^2 zu bedeuten hat?
A ist die Matrix der 2. Fundamentalform.
Was ist dann |A|^2 ? Meint man damit die Norm oder die Determinante ? Verstehe nicht wie das zusammen passen soll.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Riemannsche Metrik induziert ein Skalarprodukt für Tensoren auf . Wie das genau funktioniert, kannst du z.B. in "Vektoranalysis" von Klaus Jänich nachlesen (wie ich finde, ein sehr gutes Buch zum Thema differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Differentialformen etc.).

In Kurzform: In lokalen Koordinaten gilt für die 1-Formen . Für Tensorprodukte definiert man das Skalarprodukt über .

Für (2,0)-Tensoren, wie z.B. die zweite Fundamentalform, gilt in lokalen Koordinaten , und damit für das Skalarprodukt von mit sich selbst:


Und wie du es von Vektoren kennst, ist das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst die Norm des Vektors zum Quadrat. ist also das Quadrat der Norm der zweiten Fundamentalform.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey nick danke für die Antwort. Ich werde mir das später anschauen smile
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