Gleichung von Wahrscheinlichkeiten

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lini412 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung von Wahrscheinlichkeiten
Hallo zusammen,

ich grübel jetzt schon länger über folgende Gleichung: .
Wobei T_k einen Zeitpunkt bezeichnet, an dem ein Ereignis zum k-ten Mal eintritt und t eine Zeiteinheit. Logischerweise ist also T_k<T_k+1.

Ich frage mich erstmal ob wohl auch gilt. Das muss natürlich nicht sein, würde allerdings vielleicht den Gedankengang vereinfachen. Es ist auch eine "Annahme", dass Ereignisse nicht auf einmal gleichzeit eintreten können. Wieso sollten aber diese Mengen gleich sein? Bzw. wenn sie es nicht sind, wieso gilt die o.g Gleichheit? verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die obere Gleichung erhältst Du einfach durch den Bezug zum Gegenereignis.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung von Wahrscheinlichkeiten
Zitat:
Original von lini412
[...]
ich grübel jetzt schon länger über folgende Gleichung: .
Wobei T_k einen Zeitpunkt bezeichnet, an dem ein Ereignis zum k-ten Mal eintritt und t eine Zeiteinheit. Logischerweise ist also T_k<T_k+1. [...]


wenn du T und t durch eine passende Zeiteinheit dividierst erhälst du Zahlen und das verschiebt sich zur negativen Binomialverteilung NB(k,p) mit weniger oder gleich n Versuche für k Treffer.
Die Differenz gilt dann für genau n Versuche ( = Wahrscheinlchkeitsfunktion )
und daraus folgt die Gleichheit der Gleichung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung von Wahrscheinlichkeiten
Für die Gleichheit benötigt man keinerlei Kenntnis der Verteilung von : Sie folgt nämlich aus , was nichts anderes ist als , Helferlein hatte das ja schon angedeutet.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, mit der "Null Ergänzung" hat es tatsächlich schon geklappt.

Ich habe allerdings noch ein Problem, und zwar betrachtet man die Intervalle und berechnet die Verteilung:
Ich verstehe unter Anderem nicht wieso in den Grenzen das t_3 steht verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Zeitpunkte sind ja monoton, d.h.,

Damit ist im Fall (wovon ich mal ausgehe) auf jeden Fall . Die zweitäußerste Integration, also mit Integrationsvariable , kennzeichnet ja den Wert von , da muss auf jeden Fall darunter liegen, somit geht die Integration für die zugehörige Variable nur bis zu .

Schreibt man



ist das aber auch nicht verkehrt - die Dichte muss an sich solche die Monotonie der widersprechenden Konstellationen mit Wert 0 belegen.
 
 
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich dann nicht auch in dem Beitrag von mir am zweitäußtersten Integral die untere Grenze nicht als s sondern als t_3 wählen? T_{i+j} tritt ja schließlich nach T{i+1} ein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lini412
Könnte ich dann nicht auch in dem Beitrag von mir am zweitäußtersten Integral die untere Grenze nicht als s sondern als t_3 wählen?

ist die Integrationsvariable genau dieser Integration. Wie soll die zugleich als Start- oder Endwert derselben Integration fungieren??? Das macht überhaupt keinen Sinn. unglücklich
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Missverständnis: Ich meine das zweitäußerste, dort wo die pbere Grenze s+t ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Missverständnis - es macht keinen Sinn.


Sämtliche Integrationsgrenzen dürfen nur Funktionen sein von äußeren Parametern (wie hier ) oder aber Integrationsvariablen von "weiter außen" liegenden Integrationen, d.h.,

1) die äußerste -Integration darf Grenzen haben, die von abhängen,

2) die -Integration darf Grenzen haben, die von abhängen,

3) die -Integration darf Grenzen haben, die von abhängen, und schließlich

4) die innerste -Integration darf Grenzen haben, die von abhängen.

Im obigen Fall greift 3), während du nun für die -Integration einen Zirkelbezug einführen willst, was nicht statthaft ist. unglücklich
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das sehe ich ein. Kannst du mir noch erklären wieso es nur Integrationsvariablen von "weiter außen" liegenden Integrationen sein dürfen? In der t_3 Integration, wieso dürfte ich nicht t_2 als untere Grenze wählen? Vermutlich weil die Integration über t_2 schon "statt gefunden hat", aber wieso ist das ein Problem?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du erkennst nicht, dass diese Art Zirkelbezug ein Problem ist??? Ja wie willst du denn ein solches Integral bzw. überhaupt erstmal derartige Integrationsgrenzen ausrechnen? Was soll das überhaupt für ein Gebiet sein, was du solchermaßen definieren (?!) willst? Erstaunt1
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen ich weiß, dass T_k verteilt ist. Wie sieht man, dass dann verteilt ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ohne weiteres gar nicht, weil es i.a. gar nicht stimmt.

Anscheinend verschweigst du uns noch etwas über den zugrunde liegenden Prozess. Leg doch einfach mal alle Karten auf den Tisch, d.h., wie ist denn wirklich definiert? Die Einzelverteilung der ist doch nicht einzig bekannte Eigenschaft, sondern schon was informationsmäßig abgeleitetes...
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

T_k ist einfach der Zeitpunkt indem der k-te Eintritt in einem Poisson Prozess geschieht. Die Zwischenzeiten sind und wir wissen, dass die Eintrittszeitpunkte Gamma-verteilt sind und die Zwischenzeiten exponentialverteilt sind und es wurde gezeigt, dass .
Jetzt setzt man und man weiß, dass die Zwischenzeiten unabhängig sind, also auch die Y_i hier (als Summe von Zwischenzeiten) dann kann ich das ja aufsplitten und die gemeinsame Dichte soll sein:


So und der erste Faktor entspricht gerade der Gamma Verteilung von T_i, der zweite Faktor der exponentialverteilung von \tau_{i+1} und der letzte der exponentialverteilung von \tau_{i+j+1}. Wie ich aber auf den dritten Faktor komme ist mir nicht klar..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lini412
T_k ist einfach der Zeitpunkt indem der k-te Eintritt in einem Poisson Prozess geschieht.

Allein diese Information bringt in den bisher dunklen Raum helles strahlendes Licht. Damit wissen wir, dass

a) exponentialverteilt (Parameter allem Anschein nach ) ist, und

b) dass diese Zuwächse unabhängig sind.

Zusammen mit dem Wissen, dass die Summe von unabhängigen Exponentialverteilungen () dann Gammaverteilt ist, folgt dann



.

Warum du oben bisweilen geschrieben hast, erschließt sich mir nicht so richtig - womöglich verwechselst du da Parameter der Exponentialverteilung mit deren Erwartungswert , das solltest du mal genau überprüfen.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich schreibe 1/\lambda weil es in der Literatur für die Exponentialverteilung auch so gemacht wird. Dort wird die Exponentialverteilung nicht wie üblich zum Parameter lambda definiert sonder zu 1/lambda, so das man wieder bei der üblichen Definition landet, wenn man Exp(1/lambda) hat. Warum man das macht - weiß ich nicht.

Ich habe die von mir genannte Gleichung nun eingesehen und stehe nun vor einem immens aufwendigen Rechenproblem. Diese Dichte über die Y_1,..,Y_4 wurde berechnet um die vorher genannte Dichte über den Transformationssatz zu berechnen. Das ist nicht zu schwer, das müsste (hoffentlich) sein, wobei J die Jacobi Matrix ist, die ich jetzt noch nicht aufgestellt habe.
Diese Dichte könnte man also konkret angeben, um dann letztendlich zu berechnen, dass gilt.
Gibts da irgendwelche Tricks um dieses Integrall dann zu vereinfachen? Das ist doch immens aufwendig oder nicht? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir waren bei

für .

bzw. dann nach Transformation bei

für .

Sieht mir nun nicht so gewaltig schwierig aus, das zu integrieren: Dreimal einfache Polynome (über ), und zum Abschluss eine einfache Exponentialfunktion (über ). Einfach mal loslegen, statt ehrfurchtsvoll davor stehen und erstarren. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja sogar gleich



erreichen.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank, es war zwar aufwendig aber hat trotzdem gut funktioniert.
Die Jacobi Matrix müsste ja sein oder?
Du hast ja am Anfang (zu Recht) angemerkt, dass sein muss und i ist ja (logischerweise) größer gleich 0. In der Literatur wird noch der Einzellfall i=0, j=0 und i=0,j=1 einzeln bewiesen.
Ich frage mich was mit den allgemeinen Fällen ist, wieso müssen die nicht betrachtet werden? Eine Konstellation wie zum Beispiel i=3 und j=0 wäre doch möglich oder nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar was du meinst, aber so darf man das m.E. auf keinen Fall schreiben: Partielle Ableitungen von Zufallsgrößen nach anderen Zufallsgrößen??? Totales NoGo.

Tatsächlich geht es ja um den Transformationssatz mit Jacobi-Determinante

,

im vorliegenden Fall angewandt auf .



Zitat:
Original von lini412
Ich frage mich was mit den allgemeinen Fällen ist, wieso müssen die nicht betrachtet werden?

Wer sagt denn, dass die nicht betrachtet werden müssen? Nur fallen dort aber ein oder zwei der Zufallsvariablen weg:

Für ist .

Für ist .

Entsprechend hat man für nur noch ein Doppelintegral bzw. für ein Dreifachintegral statt deiner bisherigen Vierfachintegrale, das alles für .

Bei hast du das davon unabhängige Problem , damit fällt eine weitere Integration weg.


Kann man also alles durchaus diskutieren, aber eben nicht mit diesen Vierfachintegralen.
lini412 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich gerade wie für den Fall j=1 also dem Dreifachintegral die gemeinsame Dichte aussieht verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsstest du eigentlich durch Analogiebetrachtungen zu oben selbst rauskriegen: Hier würde man durch Transformation



zu voneinander unabhängigen gelangen, deren Verteilungen sollte auch nicht das Problem sein.
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