Mehrdimensionales Integral

05.03.2019, 15:40

Radiergummi15

Mehrdimensionales Integral

Hallo, ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen, in dem behauptet wird, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-it \cdot x - \frac{1}{2}t^TQt} dt = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2} \sqrt{det \ Q} }exp \ \biggl( - \frac{1}{2}(x- \mu )^T Q^{-1} (x-\mu ) \biggr) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ eine reguläre, symmetrische, nichtnegativ definite, reelle nxn Matrix ist und $\begin{eqnarray*} \mu, t \end{eqnarray*}$ ein n dimensionaler Vektore ist.

Um die obige Gleichheit zu beweisen wird folgendes substituiert. $\begin{eqnarray*} Q:=P^T\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s:= \Lambda^{\frac{1}{2}}Pt \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \Lambda^{1/2} \end{eqnarray*}$ als Diagonalmatrix mit Eigenwerten von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ als Diagonaleinträgen.

Vielen lieben dank für jegliche Idee

05.03.2019, 15:46

HAL 9000

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Ich frag mich zunächst mal, wie rechts diese $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auftauchen können, die im linken Integral überhaupt keine Entsprechung haben, auch nicht indirekt in $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Irgendwas stimmt da nicht! unglücklich

05.03.2019, 16:38

Radiergummi15

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Stimmt, $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ müsste 0 sein.

05.03.2019, 17:56

Leopold

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Und was ist das bei $\begin{align*} - \operatorname{i}t \cdot x \end{align*}$ für ein Produkt? Wenn das ein Skalarprodukt sein soll, schriebe man hier besser $\begin{align*} - \operatorname{i} t^{\top} \cdot x \end{align*}$ , damit der Malpunkt ein für alle Mal die Matrizenmultiplikation repräsentiert. Sonst gerät man mit seinen Bezeichnungen in Konflikte. Gibt es einen Zusammenhang mit diesem Strang hier? Der eine schreibt auf 412 Linien, der andere macht's mit seinem Radiergummi der Stärke 15 wieder weg?

06.03.2019, 13:17

HAL 9000

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Die genannte Substitution bedeutet ja $\begin{eqnarray*} t= P^T\Lambda^{-\frac{1}{2}}s \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp\left(-it^T\cdot x-\frac{1}{2}t^TQt \right) ~ \dd t = \int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp\left(-i s^T\Lambda^{-\frac{1}{2}} Px-\frac{1}{2}s^T s \right) \det\left( P^T\Lambda^{-\frac{1}{2}}\right) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

Zum einen ist

$\begin{eqnarray*} \det\left( P^T\Lambda^{-\frac{1}{2}}\right) = \det\left(\Lambda^{-\frac{1}{2}}\right) = \det(\Lambda)^{-\frac{1}{2}} = \det(Q)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Das Argument der Exponentialfunktion ist nun eine quadratische Form ohne "gemischte" Glieder $\begin{eqnarray*} s_js_k \end{eqnarray*}$ , damit kann man den Exponentialterm im Integranden faktorisieren gemäß

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^n \exp\left(-\frac{1}{2}s_j^2 - is_j \left( \Lambda^{-\frac{1}{2}} Px\right)_j \right) \end{eqnarray*}$ .

Für jede Komponente einzeln führt man dann eine quadratische Ergänzung durch:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}s_j^2 - is_j \left( \Lambda^{-\frac{1}{2}} Px\right)_j = -\frac{1}{2} \left( s_j + i \left( \Lambda^{-\frac{1}{2}} Px\right)_j \right)^2 - \frac{1}{2}\left( \Lambda^{-\frac{1}{2}} Px\right)_j ^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun einzeln nach $\begin{eqnarray*} s_1,\ldots,s_n \end{eqnarray*}$ integrieren...

EDIT: Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ersetzt, der Verwechslungsgefahr mit der imaginären Einheit wegen... Augenzwinkern

06.03.2019, 23:03

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ersetzt, der Verwechslungsgefahr mit der imaginären Einheit wegen... Augenzwinkern

Na was für ein Glück sind wir hier in einem Mathe-Forum und nicht bei den Elektrotechnikern. Prost

07.03.2019, 08:50

HAL 9000

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Hatte auch schon erwogen, gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu nehmen, mir dann aber doch gedacht: Ach, ich lass mal noch Raum für blöde Sprüche. Big Laugh

07.03.2019, 08:54

Leopold

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i,j,k - lauter Quaternionen! Wie sich der alte Hamilton freut ...

08.03.2019, 00:13

Radiergummi15

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Danke das hat mir sehr weitergeholfen.

Kann es sein, dass du hier ein Fehler beim übernehmen meiner Aufgabe gemacht hast? Statt $\begin{eqnarray*} t^T \end{eqnarray*}$ müsste es $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \exp\left(-i \textcolor{red}{\textbf{t^T}}\cdot x-\frac{1}{2}t^TQt \right) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

.

Aber eigentlich dürfte es trotzdem so funktionieren.

08.03.2019, 07:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Radiergummi15
Kann es sein, dass du hier ein Fehler beim übernehmen meiner Aufgabe gemacht hast?

Ja, ich habe den "Fehler" bewusst gemacht - warum, das hat Leopold oben ausführlich erläutert. Augenzwinkern

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