Abbildungsmatrix in einer anderen Dimension?

08.03.2019, 22:33

Patrick333

Abbildungsmatrix in einer anderen Dimension?

Schönen Abend,
zu beginn schnell der Kontext, die Frage steht am Ende.
Ich lerne gerade für meine Lineare Algebra Klausur und habe gerade folgende Aufgabe um Abbildungsmatrizen gelöst:

Aufgabe:

Es sei (C ist komplexe Zahlenmenge) $\begin{eqnarray*} A \in C^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} L_{A} : C^{2 \times 2} \rightarrow C^{2 \times 2}, \quad X \mapsto A \cdot X \end{eqnarray*}$
die Abbildung, die durch Linksmultiplikation mit A gegeben ist.

b) Es sei nun $\begin{eqnarray*} A=\left( \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {2} & {-4}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von L_A bezüglich der geordneten Basis
$\begin{eqnarray*} B=\left\{\left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right\} \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
Das auszurechnen ist nicht schwer, ich kam zum Ergebnis für die Abbildungsmatrix (im folgenden M) auf:
$\begin{eqnarray*} M=\left( \begin{array}{cccc}{-1} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {2} \\ {2} & {0} & {-4} & {0} \\ {0} & {2} & {0} & {-4}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
Und das stimmt mit der Musterlösung überein.

Meine Frage ist jetzt jedoch nur, sollte dann nicht gelten: $\begin{eqnarray*} x \in C^{2 \times 2}: L_{A}(x)= M \cdot x \end{eqnarray*}$

Ich dachte das ist der Sinn der Abbildungsmatrix, jedoch kann ich eine 4x4 Matrix ja nicht mit einer 2x2 Matrix multiplizieren. Liegt mein Fehler im Verständnis der Abbildungsmatrix?

Ich würde mich über Hilfe freuen, sonst zergrüble ich mir das ganze Wochenende den Kopf, ich freue mich jedenfalls auf Antworten.

Mit freundlichen Grüßen,
Patrick

08.03.2019, 23:06

KeinGastMehr

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patrick!

Wenn du eine Matrix $\begin{eqnarray*} X = (x_{ij})_{i,j \in \{1,2\}} \in \mathbb C^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ hast, musst du sie als Linearkombination deiner gegebenen Basisvektoren in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ schreben. Das ist hier natürlich besonders leicht, denn es ist

$\begin{eqnarray*} X = x_{11} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + x_{12} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + x_{21} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + x_{22} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Das gibt dir einen Vektor $\begin{eqnarray*} x := (x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22})^T \in \mathbb C^4 \end{eqnarray*}$ . Diesen kannst du mit deiner Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ multiplizieren und erhältst wiederrum einen Vektor $\begin{eqnarray*} Mx \in \mathbb C^4 \end{eqnarray*}$ . Was denkst du, wie du jetzt von $\begin{eqnarray*} Mx \in \mathbb C^4 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} L_A(X) \in \mathbb C^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ kommst?

08.03.2019, 23:49

Patrick333

Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht mehr Sinn, danke für deine Hilfe!

Zitat:

Original von KeinGastMehr
Was denkst du, wie du jetzt von $\begin{eqnarray*} Mx \in \mathbb C^4 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} L_A(X) \in \mathbb C^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ kommst?

Naja, ich schätze mal ich kann das ganze auch umgekehrt machen:
$\begin{eqnarray*} L_A(X) = \begin{pmatrix} (Mx)_{1} & (Mx)_{2} \\ (Mx)_{3} & (Mx)_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.03.2019, 00:26

KeinGastMehr

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es ja mal an einem Beispiel testen, wenn du möchtest (oder gleich allgemein, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} X \in \mathbb C^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ , nachrechnen) .

Neue Frage »

Antworten »

Abbildungsmatrix in einer anderen Dimension?

Verwandte Themen