Summenformel mittels erzeugender Funktion

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel mittels erzeugender Funktion
Hallo liebe Boardmitglieder,

bei folgender Aufgabe stehe ich auf der Leitung:
Bestimme mithilfe von erzeugenden Funktionen jeweils eine Summenformel für
a) und
b) unter Zuhilfenahme der Binomialidentität für für .

Meine Idee/mein Problem:
Mir ist bekannt, dass man Rekursionen, z.B. der Form lösen kann, indem man die erzeugende Funktion definiert und dann beide Seiten der Rekursionsgleichung mit multipliziert und anschließend von beiden Seiten die nimmt. Im Falle der genannten Rekursion erhält man dann z.B. die Gleichung , die man ja ganz easy lösen kann. Und irgendwie komplizierter (das finde ich recht schwierig, aber so weit muss ich ja erst kommen) kann man von der Lösung dieser Gleichung dann den Koeffizienten von ablesen, der dann eine geschlossene Form für ist.
Mir ist nun nicht ganz klar, was in der Angabe mit der gesuchten Summenformel gemeint ist (die Angabe ist ja selbst eine Summe?) und meine Frage ist vor allem, wie man aus der Angabe eine Rekursion bekommt, aus der man dann eine Erzeugende Funktion basteln kann.

Für eure Antworten wäre ich dankbar, falls ich mich irgendwo unklar ausgedrückt habe, fragt bitte nach.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Das Thema hat sich erledigt, der Thread kann geschlossen werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schade, dass keiner geantwortet hatte, kommt ja nicht so oft vor hier. Ich hatte es erwogen, konnte aber nur Alternativwege zur Bestimmung der Summen finden. Wie man das mit erzeugenden Funktionen hinkriegen sollte, war mir insbesondere bei b) ein Rätsel gewesen.
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

da mir bis jetzt zu b) auch keine Lösung eingefallen ist, so möchte ich dennoch meine Gedanken zu a) im Folgenden skizzieren:

Es gilt

Zur Lösung kann man die Funktion

betrachten.

Wenn man diese Funktion zweimal integriert, fallen die Faktoren k und (k-1) weg und die entstehende Summe lässt sich durch einen bekannten Ausdruck darstellen. Da dieser Ausdruck einen Bruch Zähler/Nenner besitzt, ist es zweckmäßig für die folgenden Ableitungen im Zähler zu ersetzen durch

um anschließend festzustellen, dass jeder verbleibende Summand des Zählers durch den Nenner gekürzt werden kann. Dies erleichtert das Differenzieren.
Andernfalls muss man nach Überprüfung der erforderlichen Bedingungen 3 Mal "de l' Hopital" anwenden (aufwendig).
Das Ergebnis wird anschließend zweimal abgeleitet und für gesetzt.
Dadurch bleibt nur noch ein Summand übrig, der das gesuchte Ergebnis für darstellt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte es so machen. Ich verwende die Hilfestellung für :



Jetzt bildet man die erzeugende Funktion







Aus der Identität folgt nach dreimaligem Differenzieren und Multiplikation mit die Beziehung



womit man



erhält.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da stellt sich unweigerlich die Frage: Wenn man eh schon virtuos die Binomialkoeffizienten umarrangiert, warum dann nicht gleich per Teleskopsumme

? Augenzwinkern
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
warum dann nicht gleich per Teleskopsumme


In der Tat wirkt bei dieser Aufgabe die Methode der erzeugenden Funktionen etwas zwanghaft. Die Aufgabe ist sicher nicht das überzeugendste Argument für diese Methode.

Zitat:
Original von zyko
Andernfalls muss man nach Überprüfung der erforderlichen Bedingungen 3 Mal "de l' Hopital" anwenden (aufwendig).


Ganz so schlimm wird es nicht. Aus



erhält man mit zweimaligem Differenzieren



Bezeichnen wir im letzten Bruch den Zähler mit und den Nenner mit , dann gilt



und somit



Nach L'Hospital folgt daher

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