Grenzwert bestimmen mit x im Exponenten

16.03.2019, 18:58	hedgehog19	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen mit x im Exponenten Hallo Ich habe die Aufgabe den Grenzwert für x-> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ zur folgenden Folge zu finden: $\begin{eqnarray} (1+\frac {2}{x}+\frac{3}{x^2})^{7x} \end{eqnarray}$ Ich denke dass man das ganze irgendwie so umformen kann, dass am Ende ein Vielfaches der Eulerschen Zahl rauskommt, da der Limes von $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{n}{x}\right)^{x} \end{eqnarray}$ ja $\begin{eqnarray} e^n \end{eqnarray}$ ist. Meine Umformung bisher: $\begin{eqnarray} (1+\frac {2}{x}+\frac{3}{x^2})^{7x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} ((1+\frac{2+\frac{3}{x}}{x})^{x})^7 \end{eqnarray}$ Der innere Bruch würde ja dann gegen $\begin{eqnarray} e^{2+\frac{3}{x}} \end{eqnarray}$ konvergieren, aber dann habe ich im Ergebnis immer noch x stehen und weiß auch nicht wie das mit dem hoch 7 gehen soll. Ich wäre dankbar für Hilfe
16.03.2019, 19:48	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen mit x im Exponenten Die Umformung bis $\begin{eqnarray} ((1+\frac{2+\frac{3}{x}}{x})^{x})^7 \end{eqnarray}$ war schon gut. Hier besteht der Verdacht, dass die innere Klammer gegen $\begin{eqnarray} e^{2} \end{eqnarray}$ (!) konvergieren könnte und der gesamte Ausdruck somit gegen $\begin{eqnarray} e^{14} \end{eqnarray}$ . So ist es auch (wie ich mir habe bestätigen lassen), aber nun wäre noch sauber zu zeigen, dass tatsächlich $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \infty } \left(1+\frac{2+\frac{3}{x} }{x} \right)^{x} =\lim_{x\to \infty } \left(1+\frac{2}{x} \right)^{x} \end{eqnarray}$
17.03.2019, 13:07	hedgehog19	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen mit x im Exponenten Danke Dann weiß ich jetzt schonmal, dass der Ansatz stimmt
18.03.2019, 09:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} f(x)=a \end{eqnarray}$ kann man $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^x = e^a \end{eqnarray}$ beweisen: Für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ findet man $\begin{eqnarray} x_0=x_0(\varepsilon) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a-\varepsilon < f(x) < a+\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\geq x_0 \end{eqnarray}$ ; per Sandwich folgt für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{a-\varepsilon} \leq \limsup_{x\to\infty} \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^x \leq e^{a+\varepsilon} \end{eqnarray}$ , desgleichen für den $\begin{eqnarray} \liminf \end{eqnarray}$ . Im Grenzübergang $\begin{eqnarray} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray}$ zieht sich das auf den einzig möglichen Wert $\begin{eqnarray} e^a \end{eqnarray}$ zusammen.
18.03.2019, 11:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL, da hast Du mich glatt ein bißchen stolz gemacht. Ich kannte zwar keinen offiziellen Beweis, aber im Prinzip wär ich mit genau dieser Methode rangegangen.
21.03.2019, 11:27	hedgehog19	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas verspätet, aber noch vielen Dank für die Antwort
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