Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch?

18.03.2019, 14:26	Ralipu	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Meine Frage: Moin, folgende Aufgabe: Es sei phi: Z^n --> Z^n ein Endomorphismus des n-fachen Produkts der additiven Gruppe Z (ganze Zahlen), wobei n Element von IN. Man zeige: phi ist genau dann injektiv, wenn Z^n / Bild(phi) eine endliche Gruppe ist. Meine Ideen: Meine Ideen: Natürlich ist Bild(phi) ein Normalteiler und daher Z^n / Bild(phi) stets eine Gruppe. Bleibt also die Frage der Endlichkeit. Nun ist ja jede injektive Selbstabbildung bijektiv und daher: phi injektiv <=> phi bijektiv Weiter ist klar, dass (phi bijektiv <=> Bild(phi) = Z^n) also (phi injektiv <=> Bild(phi) = Z^n). Das zu beweisende ist also äquivalent zu: (Bild(phi) = Z^n) <=> (Z^n / Bild(phi) endlich) Dafür findet sich aber leicht ein Gegenspiel: n=1 und phi: z \|--> 7z. Dann ist Bild(phi) = 7Z und das zu Beweisende lautet: (7Z = Z) <=> (Z/7Z endlich) Z/7Z hat die Ordnung 7, ist also endlich, und obiges ist falsch. -- Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank!!
18.03.2019, 14:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Injektiv ist nicht das gleiche wie bijektiv. Das gilt für Endomorphismen bei endl. dimensionalen Vektorräumen, aber nicht für Gruppen. Insb. gibst du ja ein Beispiel eines injektiven Endomorphismus, der nicht surjketiv ist.
18.03.2019, 14:56	Ralip	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Stimmt. Überlegung: Jedes Element der Wertemenge wird eindeutig (injektiv) auf die Wertemenge abgebildet und daher wird keines mehrfach getroffen. Und deshalb ist die Anzahl der Elemente die im Bild liegen gleich der Anzahl der Elemente in der Def.-Menge. Damit wäre die Anzahl auch gleich der in der Wertemenge bei einer Selbstabbildung und damit wäre Bild(f) = Wertemenge. Diese (doch ziemlich leichte) Überlegung ist also nur für endliche Mengen zulässig? Für unendliche also nicht? Klar, man kann bei unendlich (wie auch in dem Fall), nicht mit der Anzahl argumentieren, ich dachte aber, es würde über Bijektionen gehen. Dankeschön!
19.03.2019, 15:01	Ralipu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Ich habe in der Zeit probiert die Aufgabe zu lösen, aber habe keinen Erfolg gehabt. Könntet ihr mir einen Hinweis geben? Vielen Dank!
20.03.2019, 07:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Sorry, ich war beschäftiger als ich vermutet habe. Meine Idee wäre zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi(e_1), \phi(e_2), \ldots, \phi(e_n) \end{eqnarray}$ sich zu Vielfachen der Einheitsvektoren kombinieren lassen. Es also ganze Zalhen $\begin{eqnarray} \lambda_1, \ldots, \lambda_n \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} M \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum \lambda_i \phi(e_i) = M e_1 \end{eqnarray}$ . Dann kann man leicht eine obere Schranke für $\begin{eqnarray} \mathbb Z^n / im(\phi) \end{eqnarray}$ angeben. Leider bin ich vermutlich heute wieder extrem beschäftigt. Wenn jemand anders eine bessere Idee hat, bitte
21.03.2019, 08:44	Ralip	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Hey, vielen Dank für deine Antwort. Leider weiß ich nicht genau was du meinst. Kannst du es evtl ausführlicher erklären? Mein Ansatz war (oder einer der vielen, mein letzter): Ich habe erstmal versucht es für den Fall n=2 zu machen, in der Hoffnung das ähnlich auf n allgemein übertragen zu können. Ich könnte die Injektivität von Phi äquivalent umformen zu: Für alle a,b Element IZ gilt: (aPhi(1,0) = bPhi(0,1) => a=0=b) Nur weiß ich nicht, wieso das äquivalent zur Endlichkeit von Z^2 / Bild(Phi) sein sollte ... Ich werde es weiter versuchen, aber mir fehlen Ideen, ich bin ziemlich verzweifelt. Deshalb denke ich wäre ein Hinweis gut. Der Autor gibt übrigens den Hinweis: Man betrachte den zu Phi gehörigen Homomorphismus von Q-Vektorräumen Q^n --> Q^n. Doch damit kann ich nichts anfangen.
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22.03.2019, 09:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus injektiv : Verstehe ich die Aufgabe falsch? Der Hinweis ist genial. Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ injektiv ist, ist auch $\begin{eqnarray} \Phi : \mathbb Q^n \to \mathbb Q^n \end{eqnarray}$ als kanonische Fortsetzung auch injektiv. DAS ist nun ein Endomorphismus von Vektorräumen. Jetzt kommt also deine Fehlschuss von vorher: die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Da die Abbildung also surjektiv ist, so existieren $\begin{eqnarray} v_1, \ldots, v_n \in \mathbb Q^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(v_i) = e_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \in \{ 1, \ldots, n\} \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man leicht begründen, dass es $\begin{eqnarray} \widetilde v_1, \ldots, \widetilde v_n \in \mathbb Z^n \end{eqnarray}$ und eine grooooße Konstante $\begin{eqnarray} M \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(\widetilde v_i) = \phi(\widetilde v_i) = M e_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Nun kann man argumentieren, dass jede Äquivalenzklasse in $\begin{eqnarray} \mathbb Z^n / im (\phi) \end{eqnarray}$ einen Repräsentanten in $\begin{eqnarray} [-M, M]^n \cap \mathbb Z^n \end{eqnarray}$ besitzt. Da die Menge nur endlich viele Elemente, ist die Menge der Äquivalenzklasse endlich.

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